Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh bằng \(3a,SA = SB = SD = a\sqrt 6 \) và tam giác \(ABD\) đều.

Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Ta thấy: \(\frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}HI = \frac{3}{2}.\frac{{SH.HD}}{{\sqrt {S{H^2} + H{D^2}} }} = \frac{{9a}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{3a\sqrt 6 }}{4}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải

Ta giả sử cho điểm \(E\) bất kì thuộc mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) với \(B,E \in \left( P \right)\) sao cho \(\left( P \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Mà mặt khác ta thấy \(B \in \left( P \right),D \in \left( {SCD} \right)\) nên suy ra sin góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi góc cần tìm bằng với góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Suy ra \(\cos \alpha = \sin \left( {BD;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{BD}} = \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{BD}} = \frac{{3a\sqrt 6 }}{4}.\frac{1}{{3a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

Như vậy, \({\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\).