Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0\) là

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị.

Lời giải

\(f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3}f\left( x \right) = 0}\\{{x^3}f\left( x \right) = a > 0}\\{{x^3}f\left( x \right) = b > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^3}}}\,\,\left( {{\rm{do\;}}x \ne 0} \right)}\\{f\left( x \right) = \frac{b}{{{x^3}}}\,\,\left( {{\rm{do\;}}x \ne 0} \right)}\end{array}} \right.\)

\(f\left( x \right) = 0\) có một nghiệm dương \(x = c\). Xét phương trình \(f\left( x \right) = \frac{k}{{{x^3}}}\) với \(x \ne 0,k > 0\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{k}{{{x^3}}}\) có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \frac{{3k}}{{{x^4}}}\).

Với \(x > c\), nhìn hình ta thấy \(f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = 0\) có tối đa một nghiệm.

Mặt khác và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {c; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow g(x) = 0\) có duy nhất nghiệm trên \((c; + \infty )\).

Với \(0 < x < c\) thì \(f(x) < 0 < \frac{k}{{{x^3}}} \Rightarrow g(x) = 0\) vô nghiệm.

Với \(x < 0\), nhìn hình ta thấy \(f'(x) > 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

\( \Rightarrow g(x) = 0\) có tối đa một nghiệm.

Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) > 0}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty }\end{array}} \right.\) và \(g(x)\) liên tục trên \(( - \infty ;0)\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) = 0\) có duy nhất nghiệm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Tóm lại \(g\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Suy ra hai phương trình \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^3}}},f\left( x \right) = \frac{b}{{{x^3}}}\) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác \(c\).

Vậy phương trình \(f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0\) có đúng 6 nghiệm.