Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2}\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\,\,\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3;\,\, - 1;\,\,1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Ứng dụng của tích phân.

Lời giải

Trong đó phương trình \(a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0\left( {\rm{*}} \right)\) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm \( - 3; - 1;1\) nên

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27a + 9(b - d) - 3(c - e) - \frac{3}{2} = 0}\\{ - a + (b - d) - (c - e) - \frac{3}{2} = 0}\\{a + (b - d) + (c - e) - \frac{3}{2} = 0}\end{array}} \right.\] \[\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27a + 9(b - d) - 3(c - e) = \frac{3}{2}}\\{ - a + (b - d) - (c - e) = \frac{3}{2}}\\{a + (b - d) + (c - e) = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{(b - d) = \frac{3}{2}}\\{(c - e) = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy

\( = 2 - \left( { - 2} \right) = 4\).

Cách 2:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là: \(a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\).

Dựa vào các hệ số tự do suy ra: \( - 3a = - \frac{1}{2} - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\).

Từ đó suy ra: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là: