Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {9;3;1} \right)\), bán kính bằng 3. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(M\left( {a;0;0} \right) \in Ox,N\left( {0;0;b} \right) \in Oz\).

Ta có \(d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = 3 = R\) nên \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(A\left( {9;0;1} \right)\) và \(MN\) cũng đi qua \(A\).

Lại có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 9;0; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( { - 9;0;b - 1} \right)\) và 3 điểm \(A,M,N\) thẳng hàng nên ta được: \(\frac{{a - 9}}{{ - 9}} = \frac{{ - 1}}{{b - 1}} \Leftrightarrow \left( {a - 9} \right)\left( {b - 1} \right) = 9{\rm{\;}}\)(1).

Tứ diện \(OIMN\) có \(IA \bot \left( {OMN} \right)\) và \(\Delta OMN\) vuông tại \(O\) nên nếu gọi \(J\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) thì \(J \in \left( {IMN} \right)\).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IMN\).

Ta có \({S_{\Delta IMN}} = \frac{{IM.IN.MN}}{{4r}}\) (với \(r = \frac{{13}}{2}\) bán kính đường tròn ngoại tiếp \[\Delta IMN\]).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}IA.MN = \frac{{IM.IN.MN}}{{4.\frac{{13}}{2}}} \Leftrightarrow IM.IN = 13IA \Leftrightarrow IM.IN = 39\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{{(a - 9)}^2} + 10} \right]\left[ {{{(b - 1)}^2} + 90} \right] = 1521\) (2)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = a - 9}\\{n = b - 1}\end{array}} \right.\).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mn = 9}\\{\left( {{m^2} + 10} \right)\left( {{n^2} + 90} \right) = 1521}\end{array}} \right.\).

Giải hệ ta được: \({m^2} = 3 \Rightarrow {n^2} = 27\). Vậy \(AM.AN = \sqrt {{m^2} + 1} \sqrt {{n^2} + 81} = 12\sqrt 3 \).