Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "507"

Phương pháp giải

Lời giải

\(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 4\) có tâm \(J\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 2\).

\(M\) cách đều \(A,B \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) qua \(N\left( {0;0; - 3} \right)\) là trung điểm \(AB\) và có VTPT \(\vec n = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 8;6;2} \right) =  - 2\left( {4; - 3; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):4x - 3y - z - 3 = 0\)

\(M \in \alpha  \cap \left( S \right) \Rightarrow M \in \left( C \right)\): đường tròn tâm \(H\) là hình chiếu của \(J\) trên \(\left( \alpha  \right)\).

(Vì \(d\left( {J,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 6 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {16 + 9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {26} }} < R\) nên \(\exists M\)).

Ta có \(I \in \left( \alpha  \right)(\)Vì 4.2-3.1-2-3=0\() \Rightarrow I{M_{{\rm{max}}}} = IH + r\).

\(IH\) qua \(J\) và vuông góc với \(\left( \alpha  \right) \Rightarrow IH:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\).

\(H = IH \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow {\rm{\;}}\) Tọa độ của H thỏa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}}\\{4x - 3y - z - 3 = 0}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 17}}{{13}};\frac{{ - 23}}{{13}};\frac{{ - 38}}{{13}}} \right)} \right.\)

\(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {J,\left( \alpha  \right)} \right)}  = \sqrt {4 - \frac{4}{{26}}}  = \sqrt {\frac{{50}}{{13}}} ,IH = \sqrt {\frac{{557}}{{13}}} \).\(I{M_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {13} }}\left( {\sqrt {50}  + \sqrt {557} } \right) \Rightarrow a = 50,b = 557 \Rightarrow T = 507\)