Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(3\) quyển sách Vật lý, \(2\) quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để \(3\) quyển được lấy ra đều là sách Toán.

+) Gọi \[AH\] và \[AD\] lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \[A\] của tam giác \[ABC\].

+) Tọa độ \[A\] là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\].

+) \[M\] là trung điểm của \[AB\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).

+) Đường thẳng \[BC\] đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \[AH\]:\[6x - y - 4 = 0\] nên có phương trình \[1\left( {x--3} \right) + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\].

+) \[D\] là giao điểm của \[BC\] và \[AD\] nên tọa độ \[D\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\]

Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\)  suy ra \[C\left( { - 3; - 1} \right)\].

+) Đường thẳng \[AC\] đi qua \[A\left( {1;2} \right)\] và có một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 3} \right)\) vậy đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC} \left( { - 4; - 3} \right)\) suy ra đường thẳng \(AC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3; - 4} \right)\) phương trình đường thẳng \(AC\) là \[3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5 = 0\].