Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình \({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1\) là

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sự tương giao giữa hai đồ thị.

Lời giải

\({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {\left[ {2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{4}}}\) (*)

Đặt \(t = {x^2} + 2x + 1\). Ta có \(t = {(x + 1)^2} \ge 0\). Khi đó (*) trở thành \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

\(g'\left( t \right) = - \frac{3}{2}{(2t)^{ - \frac{7}{4}}} < 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có sự tương giao của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và \(y = g\left( t \right)\) như sau:

Do đó, phương trình \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) có hai nghiệm \(t\) dương phân biệt là \({t_1}\) và \({t_2}\).

Suy ra \({x^2} + 2x + 1 = {t_1}\,\,(1) \vee {x^2} + 2x + 1 = {t_2}\,\,(2)\).

Phương trình (1) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_1} = {t_1} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Phương trình (2) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_2} = {t_2} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) khác \({x_1},{x_2}\).

Vậy phương trình \({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1\) có số nghiệm là 4.