Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà kho của ôn F trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\), trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Đơn vị của hệ trục là mét.

a) Khoảng cách từ quả táo đến bức tường: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{3} = 4\).

b) Phương trình đường thẳng qua \(B\) và nhận véctơ \(\overrightarrow a \) làm véc tơ chỉ phương là

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right.\)

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng trên ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + 2t\\ - 3 =  - 1 + 4t\\4 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2}\), suy ra điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Hơn nữa, thay tọa độ điểm \(B\) và \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 + 8 - 3 > 0\\1 + 6 + 8 - 3 > 0\end{array} \right.\)

Suy ra hai điểm \(B\) và \(M\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\(\overrightarrow {BM}  = \left( { - 1; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {BM} \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \).

Vậy mũi tên không xuyên qua quả táo.

c) Xét hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2{\rm{z}} - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( { - 1 + 4t} \right) + 2.4 - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\\x = 5\\y = 5\\z = 4\end{array} \right.\)

Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).

Vậy mũi tên cắm vào bức tường tại điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).

d) Góc giữa mũi tên và mặt đất bằng góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( Q \right)\).

\(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{4}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}\).

\({\rm{cos}}\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }}\)

Chiều dài bóng của mũi tên \(l = \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}.\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {65} }}{{50}}\).

Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là \(100{\rm{m}}\) lụa: \(x + y \le 100\).

Chi phí cho mỗi mét lụa gấm: \(20 + 2 \times 40 = 100\) (nghìn đồng).

Chi phí cho mỗi mét lụa tơ tằm: \(10 + 1 \times 40 = 50\) (nghìn đồng).

Vốn của xưởng một ngày là không quá \(6\) triệu đồng: \(100x + 50y \le 6000 \Leftrightarrow 2x + y \le 120\).

Lợi nhuận thu từ mỗi mét lụa gấm: \(150 - 100 = 50\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu từ mỗi mét lụa tơ tằm: \(80 - 50 = 30\) (nghìn đồng).

Hàm tổng lợi nhuận: \(P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y\). Bài toán đưa về tìm \(x\), \(y\) là nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 100\\2x + y \le 120\\x,y \ge 0\end{array} \right.\] sao cho \(P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y\) có giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) như hình trên với , \(B\left( {20;80} \right)\), và \(C\left( {60;0} \right)\). Biểu thức \(P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y\) tại một trong các đỉnh này:

+ \({P_A} = 50 \times 0 + 30 \times 100 = 3000\);

+ \({P_B} = 50 \times 20 + 30 \times 80 = 3400\);

+ \({P_C} = 50 \times 60 + 30 \times 0 = 3000\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(3400\) nghìn đồng hay \(3,4\) triệu đồng khi sản xuất \(20\) mét lụa gấm và \(80\) mét lụa tơ tằm. Do đó, \(x + 3y = 20 + 3 \times 80 = 260\).