Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là \(100{\rm{m}}\) lụa, biết rằng tiền nguyên liệu cho một mét lụa gấm là \(20\) nghìn đồng và cần hai công thợ để dệt xong, còn đối với lụa tơ tằm thì cần \(10\) nghìn đồng tiền nguyên liệu và một công thợ. Vốn của xưởng một ngày là không quá \(6\) triệu đồng và một công thợ là \(40\) nghìn đồng. Giá bán lẻ một mét lụa gấm và tơ tằm lần lượt là \(150\) nghìn đồng/mét và \(80\) nghìn đồng/mét. Vậy chủ cơ sở cần sản xuất một ngày \(x\) mét lụa gấm và \(y\) mét lụa tơ tằm để thu lời nhiều nhất (Giả sử mỗi ngày đều bán hết). Tính giá trị của biểu thức \(x + 3y\).

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \((P),(Q).\)

Ta có: \({\vec n_P} = (1;1;0),{\vec n_Q} = (1;0; - 1) \Rightarrow {\vec n_\alpha } = {\vec n_Q} \times {\vec n_P} = (1; - 1;1) \Rightarrow (\alpha ):x - y + z - 3 = 0.\)

Gọi \(H,K\) lần lượt hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \((P),(Q).\) Theo đề bài, ta có

\(AH = d(A,(P)) = 2;AK = d(A,(Q)) = 1;\cos \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{|{{\vec n}_P}|.|{{\vec n}_Q}|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = 60^\circ .\)

Gọi \(a = (\alpha ) \cap (P),b = (\alpha ) \cap (Q),E = a \cap b \Rightarrow E \in (P) \cap (Q).\) Khi đó, trong mặt phẳng \((\alpha )\) ta có tứ giác \(HAKE\) như hình vẽ.

Xét phép quay tâm \(A\) góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(M \in a\) thành \(M' \in b\).

Đặt \(\widehat {MAH} = \alpha  \Rightarrow \widehat {M'AK} = 120^\circ  - \widehat {MAH} - \widehat {MAM'} = 60^\circ  - \alpha \)

Xét \(\Delta MAH\) vuông tại \(H\), có: \(MA = \frac{{AH}}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\cos \alpha }}\).

Xét \(\Delta M'AK\)vuông tại \(K\), có: \(AM' = \frac{{AK}}{{\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)}}\).

Mà \(AM = AM' \Leftrightarrow \cos \alpha  = 2\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \alpha  = 2\left( {\cos 60^\circ .\cos \alpha  + \sin 60.\sin \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \alpha  = 0\\ \Rightarrow \alpha  = 0\end{array}\]

Vậy \(M \equiv H\). Vậy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow B \equiv H\) và thực hiện phép quay tâm \(A\), góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(H\) thành điểm \(C.\)

Suy ra \(C\) thuộc mp\((\beta )\) là mặt phẳng trung trực của \(AH\) hay mặt phẳng cách đều \(A\) và \((P).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \((P).\) Khi đó: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\)

\(B = d \cap (P) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2\sqrt 2  = 0\\x = 1 + t\\y =  - 1 + t\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow B(1 + \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1;1).\)

Gọi \(M\) là trung điểm

Tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình là phương trình của 3 mặt phẳng \((Q),(\alpha ),(\beta ).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - z + \sqrt 2  = 0\\x - y + z - 3 = 0\\x + y - \sqrt 2  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \sqrt 2  - 1\\z = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\sqrt 2  - 1;\sqrt 2  + 1} \right).\)

Vậy chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất là

\(h = d(C;(R)) = \frac{{|{z_C} + 1|}}{1} = \left| {\sqrt 2  + 1 + 1} \right| = 2 + \sqrt 2  \approx 3,4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

a) [NB] Thầy quản nhiệm muốn chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn thì có \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) cách.

Số cách chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ 10 bạn là \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}.C_{10}^{10} = C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) (cách)

Vậy a) đúng.

b) [TH] Xác suất để thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau là \(0,03\). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mỗi tổ 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau thì mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Xác suất chia như vậy là

\(\frac{{C_{20}^5.C_{20}^5.C_{15}^5.C_{15}^5.C_{10}^5.C_{10}^5}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,03\).

Vậy b) đúng.

c) [TH] Thầy quản nhiệm có thể chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng các bạn nữ của các tổ lập thành một cấp số cộng và số lượng các bạn nam của mỗi tổ cũng vậy.

Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ hoặc 4 tổ có số lượng nữ lần lượt là 2, 4, 6, 8 và nam lần lượt là 8, 6, 4, 2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy c) đúng.

d) [VD,VDC] Nghe lời thầy F có am hiểu về phong thủy, để cả lớp đạt NV1 trong kì thi quốc gia sắp tới thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho tổ nào cũng có nam lẫn nữ và sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn. Nếu gọi \({k_1},{k_2},{k_3},{k_4}\)lần lượt là hiệu số giữa số lượng nam và nữ của tổ 1, 2, 3 và 4 thì \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\). Xác suất để thầy quản nhiệm chia như vậy lớn hơn \(0,0015\).

Gọi \(a\) là số nam của một tổ, suy ra số nữ một tổ là \(10 - a\).

Vì sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn nên \(\left| {10 - a - a} \right| > 3\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}10 - 2a > 3\\10 - 2a <  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \frac{7}{2}\\a > \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\). Mà \(a\) nguyên nên \(a \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,7\,;\,8\,;\,9} \right\}\).

Do đó tương ứng \({k_i} \in \left\{ {8\,;\,6\,;\,4\,;\, - 4\,;\, - 6\,;\, - 8} \right\},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\).

Lại có \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\) nên \({k_i},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\), đôi một khác nhau và \(k_i^2 = {k_{i - 1}}.{k_{i + 1}}\) nên bộ số \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) nhận các bộ số sau \(\left\{ {6, - 6,6, - 6} \right\}\), \(\left\{ {4, - 4,4, - 4} \right\}\), \(\left\{ {8, - 8,8, - 8} \right\}\). Như vậy thầy quản nhiệm có thể chia 4 tổ sao cho 2 tổ có 2 nam, 8 nữ và 2 tổ có 8 nam, 2 nữ hoặc 2 tổ có 3 nam, 7 nữ và 2 tổ 7 nam, 3 nữ hoặc 2 tổ có 1 nam, 9 nữ và 2 tổ 1 nữ, 9 nam. Xác suất chia như vậy là

\[\frac{{C_{20}^2.C_{20}^8.C_{18}^8.C_{12}^2.C_{10}^2.C_{10}^8 + C_{20}^3.C_{20}^7.C_{17}^7.C_{13}^3.C_{10}^3.C_{10}^3 + C_{20}^1.C_{20}^9.C_{19}^9.C_{11}^1.C_{10}^1.C_{10}^9}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,001534 > 0,0015\].

Vậy d) đúng.