Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất. Một bức tường là mặt phẳng \[(P):x + y - 2\sqrt 2  = 0\] và mái nhà lợp lá của ông là mặt phẳng \[(Q):x - z + \sqrt 2  = 0.\] Ông F muốn đặt một bóng đèn tròn để chiếu sáng ban đêm, sau khi cố định bóng đèn tại vị trí \[A(1; - 1;1),\] ông nối dây điện thẳng dài từ bóng đèn đến vị trí một khoen móc đặt tại \[C\] trên mái nhà \[(Q)\] rồi luồn dây điện thẳng đến ổ cắm tại vị trí \[B\] nằm trên bức tường \[(P).\] Sau khi hoàn thành và đo đạc thì ông F thấy tam giác \[ABC\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q).\) Tính chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất. (Làm tròn đến hàng phần chục)

a) Khoảng cách từ quả táo đến bức tường: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{3} = 4\).

b) Phương trình đường thẳng qua \(B\) và nhận véctơ \(\overrightarrow a \) làm véc tơ chỉ phương là

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right.\)

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng trên ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + 2t\\ - 3 =  - 1 + 4t\\4 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2}\), suy ra điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Hơn nữa, thay tọa độ điểm \(B\) và \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 + 8 - 3 > 0\\1 + 6 + 8 - 3 > 0\end{array} \right.\)

Suy ra hai điểm \(B\) và \(M\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\(\overrightarrow {BM}  = \left( { - 1; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {BM} \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \).

Vậy mũi tên không xuyên qua quả táo.

c) Xét hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2{\rm{z}} - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( { - 1 + 4t} \right) + 2.4 - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\\x = 5\\y = 5\\z = 4\end{array} \right.\)

Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).

Vậy mũi tên cắm vào bức tường tại điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).

d) Góc giữa mũi tên và mặt đất bằng góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( Q \right)\).

\(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{4}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}\).

\({\rm{cos}}\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }}\)

Chiều dài bóng của mũi tên \(l = \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}.\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {65} }}{{50}}\).

a) [NB] Thầy quản nhiệm muốn chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn thì có \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) cách.

Số cách chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ 10 bạn là \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}.C_{10}^{10} = C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) (cách)

Vậy a) đúng.

b) [TH] Xác suất để thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau là \(0,03\). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mỗi tổ 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau thì mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Xác suất chia như vậy là

\(\frac{{C_{20}^5.C_{20}^5.C_{15}^5.C_{15}^5.C_{10}^5.C_{10}^5}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,03\).

Vậy b) đúng.

c) [TH] Thầy quản nhiệm có thể chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng các bạn nữ của các tổ lập thành một cấp số cộng và số lượng các bạn nam của mỗi tổ cũng vậy.

Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ hoặc 4 tổ có số lượng nữ lần lượt là 2, 4, 6, 8 và nam lần lượt là 8, 6, 4, 2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy c) đúng.

d) [VD,VDC] Nghe lời thầy F có am hiểu về phong thủy, để cả lớp đạt NV1 trong kì thi quốc gia sắp tới thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho tổ nào cũng có nam lẫn nữ và sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn. Nếu gọi \({k_1},{k_2},{k_3},{k_4}\)lần lượt là hiệu số giữa số lượng nam và nữ của tổ 1, 2, 3 và 4 thì \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\). Xác suất để thầy quản nhiệm chia như vậy lớn hơn \(0,0015\).

Gọi \(a\) là số nam của một tổ, suy ra số nữ một tổ là \(10 - a\).

Vì sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn nên \(\left| {10 - a - a} \right| > 3\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}10 - 2a > 3\\10 - 2a <  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \frac{7}{2}\\a > \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\). Mà \(a\) nguyên nên \(a \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,7\,;\,8\,;\,9} \right\}\).

Do đó tương ứng \({k_i} \in \left\{ {8\,;\,6\,;\,4\,;\, - 4\,;\, - 6\,;\, - 8} \right\},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\).

Lại có \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\) nên \({k_i},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\), đôi một khác nhau và \(k_i^2 = {k_{i - 1}}.{k_{i + 1}}\) nên bộ số \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) nhận các bộ số sau \(\left\{ {6, - 6,6, - 6} \right\}\), \(\left\{ {4, - 4,4, - 4} \right\}\), \(\left\{ {8, - 8,8, - 8} \right\}\). Như vậy thầy quản nhiệm có thể chia 4 tổ sao cho 2 tổ có 2 nam, 8 nữ và 2 tổ có 8 nam, 2 nữ hoặc 2 tổ có 3 nam, 7 nữ và 2 tổ 7 nam, 3 nữ hoặc 2 tổ có 1 nam, 9 nữ và 2 tổ 1 nữ, 9 nam. Xác suất chia như vậy là

\[\frac{{C_{20}^2.C_{20}^8.C_{18}^8.C_{12}^2.C_{10}^2.C_{10}^8 + C_{20}^3.C_{20}^7.C_{17}^7.C_{13}^3.C_{10}^3.C_{10}^3 + C_{20}^1.C_{20}^9.C_{19}^9.C_{11}^1.C_{10}^1.C_{10}^9}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,001534 > 0,0015\].

Vậy d) đúng.