Một bể nước hình hộp chữ nhật \(ABCD.\,A'B'C'D'\) có chiều dài các cạnh \(AB = 4m,\,AD = 3m,\,AA' = 2\sqrt 3 m\) được đặt vào hệ trục toạ độ \(O\,xyz\) với đơn vị là \(\left( m \right)\) như hình dưới. Trong bể đang chứa nước \(12\sqrt 3 \left( {{m^3}} \right)\) nước và mặt nước chạm bốn cạnh \(A\,A',\,BB',\,CC',\,DD'\) lần lượt tại \(M,\,F,E,N\). Một máy bơm \(O\,xy\), coi như điểm \(I \in ME\) được đặt trên mặt nước với vị trí máy bơm thoả mãn \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{2}{5}\).

Người ta nghiêng bể nước trên trục \(Oy\) như hình vẽ dưới, khi đáy bể hợp với mặt phẳng \(\left( {O\,xy} \right)\) một góc \(\alpha \) sao cho mặt nước lúc này chứa cạnh \(A'D'\). Máy bơm lúc này vẫn nằm trên đoạn \(ME\) ở vị trí thoả mãn tỉ số \(\frac{{MI}}{{ME}}\) như cũ.

Lúc đó toạ độ của máy bơm là \(I\left( {{x_o};\,{y_o};{z_o}} \right)\). Tính \(\frac{{{x_o}}}{{\sqrt 7 }} + 5{y_o} + \frac{{5{z_o}}}{{\sqrt {21} }}\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \((P),(Q).\)

Ta có: \({\vec n_P} = (1;1;0),{\vec n_Q} = (1;0; - 1) \Rightarrow {\vec n_\alpha } = {\vec n_Q} \times {\vec n_P} = (1; - 1;1) \Rightarrow (\alpha ):x - y + z - 3 = 0.\)

Gọi \(H,K\) lần lượt hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \((P),(Q).\) Theo đề bài, ta có

\(AH = d(A,(P)) = 2;AK = d(A,(Q)) = 1;\cos \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{|{{\vec n}_P}|.|{{\vec n}_Q}|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = 60^\circ .\)

Gọi \(a = (\alpha ) \cap (P),b = (\alpha ) \cap (Q),E = a \cap b \Rightarrow E \in (P) \cap (Q).\) Khi đó, trong mặt phẳng \((\alpha )\) ta có tứ giác \(HAKE\) như hình vẽ.

Xét phép quay tâm \(A\) góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(M \in a\) thành \(M' \in b\).

Đặt \(\widehat {MAH} = \alpha  \Rightarrow \widehat {M'AK} = 120^\circ  - \widehat {MAH} - \widehat {MAM'} = 60^\circ  - \alpha \)

Xét \(\Delta MAH\) vuông tại \(H\), có: \(MA = \frac{{AH}}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\cos \alpha }}\).

Xét \(\Delta M'AK\)vuông tại \(K\), có: \(AM' = \frac{{AK}}{{\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)}}\).

Mà \(AM = AM' \Leftrightarrow \cos \alpha  = 2\cos \left( {60^\circ  - \alpha } \right)\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \alpha  = 2\left( {\cos 60^\circ .\cos \alpha  + \sin 60.\sin \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \alpha  = 0\\ \Rightarrow \alpha  = 0\end{array}\]

Vậy \(M \equiv H\). Vậy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow B \equiv H\) và thực hiện phép quay tâm \(A\), góc quay \( - 60^\circ \) biến điểm \(H\) thành điểm \(C.\)

Suy ra \(C\) thuộc mp\((\beta )\) là mặt phẳng trung trực của \(AH\) hay mặt phẳng cách đều \(A\) và \((P).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \((P).\) Khi đó: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\)

\(B = d \cap (P) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2\sqrt 2  = 0\\x = 1 + t\\y =  - 1 + t\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow B(1 + \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1;1).\)

Gọi \(M\) là trung điểm

Tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình là phương trình của 3 mặt phẳng \((Q),(\alpha ),(\beta ).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - z + \sqrt 2  = 0\\x - y + z - 3 = 0\\x + y - \sqrt 2  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \sqrt 2  - 1\\z = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\sqrt 2  - 1;\sqrt 2  + 1} \right).\)

Vậy chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất là

\(h = d(C;(R)) = \frac{{|{z_C} + 1|}}{1} = \left| {\sqrt 2  + 1 + 1} \right| = 2 + \sqrt 2  \approx 3,4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

a) [NB] Thầy quản nhiệm muốn chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn thì có \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) cách.

Số cách chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ 10 bạn là \(C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}.C_{10}^{10} = C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}\) (cách)

Vậy a) đúng.

b) [TH] Xác suất để thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau là \(0,03\). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mỗi tổ 10 bạn sao cho số lượng nam và nữ của mỗi tổ bằng nhau thì mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Xác suất chia như vậy là

\(\frac{{C_{20}^5.C_{20}^5.C_{15}^5.C_{15}^5.C_{10}^5.C_{10}^5}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,03\).

Vậy b) đúng.

c) [TH] Thầy quản nhiệm có thể chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho số lượng các bạn nữ của các tổ lập thành một cấp số cộng và số lượng các bạn nam của mỗi tổ cũng vậy.

Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ hoặc 4 tổ có số lượng nữ lần lượt là 2, 4, 6, 8 và nam lần lượt là 8, 6, 4, 2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy c) đúng.

d) [VD,VDC] Nghe lời thầy F có am hiểu về phong thủy, để cả lớp đạt NV1 trong kì thi quốc gia sắp tới thầy quản nhiệm chia lớp ra thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 bạn sao cho tổ nào cũng có nam lẫn nữ và sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn. Nếu gọi \({k_1},{k_2},{k_3},{k_4}\)lần lượt là hiệu số giữa số lượng nam và nữ của tổ 1, 2, 3 và 4 thì \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\). Xác suất để thầy quản nhiệm chia như vậy lớn hơn \(0,0015\).

Gọi \(a\) là số nam của một tổ, suy ra số nữ một tổ là \(10 - a\).

Vì sự chênh lệch giữa số lượng nam và nữ trong tổ nhiều hơn 3 bạn nên \(\left| {10 - a - a} \right| > 3\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}10 - 2a > 3\\10 - 2a <  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \frac{7}{2}\\a > \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\). Mà \(a\) nguyên nên \(a \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,7\,;\,8\,;\,9} \right\}\).

Do đó tương ứng \({k_i} \in \left\{ {8\,;\,6\,;\,4\,;\, - 4\,;\, - 6\,;\, - 8} \right\},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\).

Lại có \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\) nên \({k_i},\,i = 1,\,2,\,3,\,4\), đôi một khác nhau và \(k_i^2 = {k_{i - 1}}.{k_{i + 1}}\) nên bộ số \(\left\{ {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4}} \right\}\) nhận các bộ số sau \(\left\{ {6, - 6,6, - 6} \right\}\), \(\left\{ {4, - 4,4, - 4} \right\}\), \(\left\{ {8, - 8,8, - 8} \right\}\). Như vậy thầy quản nhiệm có thể chia 4 tổ sao cho 2 tổ có 2 nam, 8 nữ và 2 tổ có 8 nam, 2 nữ hoặc 2 tổ có 3 nam, 7 nữ và 2 tổ 7 nam, 3 nữ hoặc 2 tổ có 1 nam, 9 nữ và 2 tổ 1 nữ, 9 nam. Xác suất chia như vậy là

\[\frac{{C_{20}^2.C_{20}^8.C_{18}^8.C_{12}^2.C_{10}^2.C_{10}^8 + C_{20}^3.C_{20}^7.C_{17}^7.C_{13}^3.C_{10}^3.C_{10}^3 + C_{20}^1.C_{20}^9.C_{19}^9.C_{11}^1.C_{10}^1.C_{10}^9}}{{C_{40}^{10}.C_{30}^{10}.C_{20}^{10}}} \approx 0,001534 > 0,0015\].

Vậy d) đúng.