Cho một đa giác đều \(n\) đỉnh (với \(n\) là số lẻ). Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh của đa giác đều đó. Gọi \(P\) là xác suất sao cho \(3\)  đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết \(P = \frac{{45}}{{62}}\). Tìm \(n\).

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số thỏa yêu cầu bài toán thì \({a_3} + {a_4} + {a_5} = 8\).

Có hai bộ \(3\) số có tổng bằng \(8\) trong các số \(1;2;3;...;9\) là: \(\left\{ {1;2;5} \right\}\)và \(\left\{ {1;3;4} \right\}\)

Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) thì \({a_3},{a_4},{a_5}\) có \(3!\) cách chọn và \({a_1},{a_2},{a_6}\) có \(A_6^3\) cách chọn suy ra có \(3!A_6^3 = 720\) số thỏa mãn yêu cầu.

Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) tương tự ta cũng có \(720\) số thỏa yêu cầu.

Vậy có \(720 + 720 = 1400\) số thỏa yêu cầu.

b) Điều kiện: \[n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\]

\[C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n =  - 6}\end{array}} \right. \Rightarrow n = 5\]

Khi đó,

\[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = C_5^0{x^5}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^0} + C_5^1{x^4}\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right) + C_5^2{x^3}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_5^4x{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\]\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\)

Suy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\) là \(10\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).

b)

Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).

\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).