a) Từ các số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(6\) chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng \(8\).

b) Cho \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[C_n^1 + C_n^2 = 15\]. Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}.\]

Hướng dẫn giải

Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N},k \ge 1} \right)\).

Số phần tử không gian mẫu là:\(n\left( \Omega  \right) = C_{2k + 1}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù”

Giả sử tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat A,\widehat B\) là góc  nhọn và  góc \(\widehat C\)  tù

Chọn một đỉnh bất kì làm đỉnh \(A\) có \(2k + 1\) cách

Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm \(2\), mỗi bên là \(k\)  đỉnh

Để tạo thành tam giác tù thì \(2\) đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn

Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại \(2\) lần nên

\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)}}{{2!}} = \left( {2k + 1} \right)C_k^2\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)C_k^2}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\).

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{2!\left( {k - 2} \right)!}}.\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{3!\left( {2k - 2} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45\frac{{2k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)

\( \Leftrightarrow 2{k^3} - 31{k^2} - 16k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 16\\k =  - \frac{1}{2}\\k = 0\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện \(k = 16\) thoả mãn bài toán.

Vậy \(n = 33\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).

b)

Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).

\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).