Câu hỏi:

14/01/2026 102

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{x}{{\sqrt x + 1}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{6}{{x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] tại $x = 9$.

b) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$.

c) Đặt $P = A.B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P \le 4$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 trường THCS Lê Lợi (Hà Nội) Tháng 12/2025 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] tại $x = 9$.

Với $x = 9$ (TMĐK) ta có giá trị biểu thức \[A\] là

$A = \frac{9}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{9}{{3 + 1}} = \frac{9}{4}$

Vậy $A = \frac{9}{4}$ tại $x = 9$.

b) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Với $x \ge 0;x \ne 1$ ta có

$B = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{6}{{x - 1}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{6}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\end{array}$

$ = \frac{{x + 3\sqrt x - 4 - \sqrt x - 1 + 6}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$.

c) Đặt $P = A.B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P \le 4$.

Ta có $P = A.B$ $ = \frac{x}{{\sqrt x + 1}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Để $P \le 4$ thì $\frac{x}{{\sqrt x - 1}} \le 4$

$\frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 4 \le 0$

$\frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}} \le 0$

$\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} \le 0$

Suy ra ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} = 0$ hoặc $\sqrt x - 1 < 0$.

+) ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} = 0$

$\sqrt x - 2 = 0$

$\sqrt x = 2$

$x = 4$ (TMĐK)

+) $\sqrt x - 1 < 0$

$\sqrt x < 1$

$x < 1$

Kết hợp ĐK $x \ge 0;x \ne 1$ ta có $0 \le x < 1$.

Vậy $P \le 4$ khi $x = 4$ hoặc $0 \le x < 1$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một bồn hoa trong công viên có dạng hình quạt tròn có bán kính bằng $6\,{\rm{m}}$, chu vi bằng $25\,{\rm{m}}$ . Tính diện tích của bồn hoa hình quạt tròn đó?

Lời giải

Chu vi hình quạt tròn bằng $25\,{\rm{m}}$

Nên độ dài cung tròn là: $25 - 6 - 6 = 13\left( {\rm{m}} \right)$

Diện tích của bồn hoa hình quạt tròn là: ${S_q} = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2}.13.6 = 39\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Câu 2

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, đường tròn tâm $O$ cắt $BC$ tại $D$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $H$, $AH$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là $E$.

a) Chứng minh $OE \bot CE$ và 4 điểm $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $C{A^2} = CH.CO$ và $CH.CO = CD.CB$ .

c) Chứng minh $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}$ và $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Lời giải

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, đường tròn tâm (ảnh 1)$

a) Chứng minh $OE \bot CE$ và 4 điểm $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét \[\Delta AEO\] có $OA = OE = R$, suy ra \[\Delta AEO\] cân tại $O$

Mà $OH$ là đường cao ( gt)

Nên $OH$ đồng thời là đường phân giác (tc)

Chứng minh được \[\Delta AOC = \Delta EOC\left( {cgc} \right)\]

Suy ra \[\widehat {OAC} = \widehat {OEC} = 90^\circ \]

Xét \[\Delta ACO\] có $\widehat {OAC} = 90^\circ $

Suy ra $A,\,O,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$ (1)

Xét \[\Delta ECO\] có $\widehat {CEO} = 90^\circ $

Suy ra $E,\,O,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$.

b) Chứng minh $C{A^2} = CH.CO$ và $CH.CO = CD.CB$.

Xét $\Delta CHA$ và $\Delta CAO$ ta có

$\widehat {AHC} = \widehat {OAC} = 90^\circ $

$\widehat {OCA}\,$chung

Suy ra : $\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CO}} \Rightarrow CH.CO = C{A^2}\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có Suy ra : $\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow ACD.CB = C{A^2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $CH.CO = CD.CB$ (đpcm)

Suy ra : $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CO}}$

c) Chứng minh $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}$ và $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Gọi $AE$ cắt $BC$ tại $M$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CBO$ ta có $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CO}}\left( {cmt} \right)$; $\widehat {OCB}\,$chung

Suy ra $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}\left( {dpcm} \right)$ và $\widehat {CDH}\, = \widehat {COB}$

Suy ra $\widehat {COA} = \widehat {HDB}\,\,\,\left( a \right)$

Chứng minh tương tự ta có

Suy ra : $\frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{MA}}{{MD}}$

Suy ra : $ \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {MDE}\,\,\,\left( b \right)$

Mặt khác: $\widehat {OAH} + \widehat {AOH} = 90^\circ \,\,\,\left( c \right)$

Từ (a), ( b) và (c) suy ra $\widehat {HDM} + \widehat {MDE} = 90^\circ $ hay $\widehat {HDE} = 90^\circ $

Suy ra $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Câu 3