Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

\({\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \cdot \left( {\frac{3}{4}x} \right) + 6 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^4}\)

\( = \frac{1}{{256}} + \frac{3}{{64}}x + \frac{{27}}{{128}}{x^2} + \frac{{27}}{{64}}{x^3} + \frac{{81}}{{256}}{x^4}\).

Hệ số lớn nhất trong khai triển là \(\frac{{27}}{{64}}\). Chọn D.

Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcde} \).

TH1: \(e = 0\). Có 1 cách chọn \(e\).

Khi đó \(a,b,c,d\) có \(A_9^4\) cách chọn.

Vậy trong trường hợp này lập được \(A_9^4 = 3024\) số.

TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\). Có \(4\) cách chọn \(e\).

Có 8 cách chọn \(a\).

Chọn các số \(b,c,d\) trong các số còn lại nhất định phải có chữ số 0 nên có \(3 \cdot A_7^2\) cách chọn.

Vậy trong trường hợp này lập được \(4 \cdot 8 \cdot 3 \cdot A_7^2 = 4032\) số.

Do đó có tất cả \(3024 + 4032 = 7056\) số.

Trả lời: 7056.