Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,\) \(AC = 3a.\) Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D,\,\,E\) sao cho \(AD = DE = EC.\)

a) Tính các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DE}},\,\,\frac{{DC}}{{DB}}.\)

b) Chứng minh $\Delta BDE\backsim \Delta CDB.$

c) Tính \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB}.\)

d) Qua \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BD\) và cắt \(BD\) tại \(I.\) Chứng minh \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right);\)

\[\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\]

Khi đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne  - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\\x \ne  - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(P\) xác định.

b) Với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2},\) ta có:

\[P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^{2\,}} + 2x + 1}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)

c) Thay \[x = \frac{1}{2}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}},\) ta được:

\(P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.\)

Vậy \(P = 3\) khi \[x = \frac{1}{2}.\]

Hướng dẫn giải

Ta có \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}\]

\[{S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.\]