Cho \[{a_1};{\rm{ }}{a_2};{\rm{ }}{a_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{a_{2023}};{\rm{ }}{a_{2024}}\] là 2024 số thực thỏa mãn \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}}\) với \[k \in \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}2024} \right\}.\] Tính tổng \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{2024}}.\]
Cho \[{a_1};{\rm{ }}{a_2};{\rm{ }}{a_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{a_{2023}};{\rm{ }}{a_{2024}}\] là 2024 số thực thỏa mãn \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}}\) với \[k \in \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}2024} \right\}.\] Tính tổng \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{2024}}.\]
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.\)
Do đó \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{2024}}\]
\[{S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\]
\[ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.\]
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right);\)
\[\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\]
Khi đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\\x \ne - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)
Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 1\) và \(x \ne - \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(P\) xác định.
b) Với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 1\) và \(x \ne - \frac{1}{2},\) ta có:
\[P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^{2\,}} + 2x + 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\]
Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 1\) và \(x \ne - \frac{1}{2}\) thì \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)
c) Thay \[x = \frac{1}{2}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}},\) ta được:
\(P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.\)
Vậy \(P = 3\) khi \[x = \frac{1}{2}.\]
Lời giải
a) Ta có:
⦁ \(AD = DE = EC = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.\)
⦁ \(CD = DE + EC = a + a = 2a.\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có:
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)Suy ra \(BD = a\sqrt 2 .\)
Khi đó: \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \) và \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\)
b) Theo câu a ta có \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \sqrt 2 .\)
Xét \[\Delta BDE\] và \[\Delta CDB\] có:
\(\widehat {CDB}\) là góc chung và \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}}\)
Do đó (c.g.c).
c) Từ câu c, suy ra (hai góc tương uwnsg0.
Do đó \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.\]
Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.\)
Mà \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có \(AB = AD = a\) nên là tam giác vuông cân tại \(A,\) do đó \(\widehat {ADB} = 45^\circ .\)
Suy ra \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB} = \widehat {ADB} = 45^\circ .\]
Vậy \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ .\]
d) Ta có: \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = BD \cdot \left( {BD + DI} \right) + CD \cdot \left( {CD + AD} \right)\)
\( = B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD\)
\( = B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ICD\) có \[\widehat {BAD} = \widehat {CID} = 90^\circ \] và \(\widehat {ADB} = \widehat {IDC}\) (đối đỉnh).
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{IC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), nên \(BD \cdot DI = CD \cdot AD.\)
Khi đó \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{D^2} + 2BD \cdot DI + C{D^2}\)
\( = B{D^2} + 2BD \cdot DI + D{I^2} + C{D^2} - D{I^2}\)
\( = {\left( {BD + DI} \right)^2} + C{D^2} - D{I^2}\)
\( = B{I^2} + C{D^2} - D{I^2}\)
Xét \(\Delta ICD\) vuông tại \(I,\) theo định lí Pythagore ta có \(D{I^2} + I{C^2} = C{D^2}\)
Suy ra \(I{C^2} = C{D^2} - D{I^2},\) nên \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{I^2} + I{C^2}.\)
Lại có, \(B{I^2} + I{C^2} = B{C^2}\) (áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(BIC\) vuông tại \(I).\)
Vậy \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 0.
B. 1.
C. \(\frac{{x + y}}{{x - y}}.\)
D. \(\frac{{x - y + 2}}{{x - y}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)
B. \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)
C. \(\Delta ABC\) vuông tại \(C.\)
D. \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{A}{B} = \frac{A}{{ - B}}.\)
B. \(\frac{A}{B} = \frac{{ - B}}{{ - A}}.\)
C. \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}},\) với \(N \ne 0.\)
D. \(\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}},\) với \(M \ne 0.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập