Cho \(\Delta ABC\) vuông tại  \(A\)có \(AB = 6{\rm{\;cm}},\,\,AC = 8{\rm{\;cm}}.\)

a) Tính độ dài cạnh \(BC.\)

b) Vẽ đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta HAC.$

c) Tính độ dài cạnh \(AH,\,\,CH,\,\,BH.\)

d) Trên cạnh \(AH\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 3,2{\rm{\;cm}},\) từ điểm \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) lần lượt cắt \(AB,\,\,AC\) tại \(E\) và \(F.\) Tính \(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\) và \({S_{\Delta ABC}},\,\,{S_{\Delta AEF}}.\)

Hướng dẫn giải

Với \[x \ne --y;\] \[y \ne --z;\] \[z \ne --x,\] ta có:

\(A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.\)

Vậy \(A = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{3}{{2\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x - 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x - \left( {x - 6} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{x}.\)