PHẦN II. TỰ LUẬN

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(P.\)

b) Rút gọn biểu thức \(P.\)

c) Tìm số nguyên \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là \(\frac{{100}}{2} = 50\) (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x\) (m) \(\left( {0 < x < 50} \right).\)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x\) (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right)\) (m²).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là \(x + 10\) (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x\) (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\) (m²).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)

\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)

\(50x - 40x + 10x = 400\)

\(20x = 400\)

    \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;\) (m²).

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne  - b;\,\,b \ne  - c;\,\,c \ne  - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) \(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne  - b;\,\,b \ne  - c;\,\,c \ne  - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)