Cho \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\)

Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}}.\)

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},\) suy ra \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.\)

Do đó \(AD = \sqrt {6\,\,400}  = 80{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ECB}).\)

Do đó $\Delta BDH\backsim \Delta ADC$ (g.g).

c) Theo câu b, $\Delta BDH\backsim \Delta ADC$ suy ra \(\widehat {BHD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A),\) nên \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}\)

Do đó $\Delta BDH\backsim \Delta ADB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay \(\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},\) suy ra \(BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}\) và \(DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.\)

d) Ta có \(AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {EBC}\) là góc chung.

Do đó $\Delta BDH\backsim \Delta BEC$ (g.g).

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta AEH\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (đối đỉnh).

Do đó $\Delta BDH\backsim \Delta AEH$ (g.g).

Mà $\Delta BDH\backsim \Delta ADB$ nên $\Delta AEH\backsim \Delta ADB$ 

Do đó \(\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},\) suy ra \(HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;cm}}.\)