1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 15{\rm{\;cm}},\,\,CA = 18{\rm{\;cm}}\) và \(AB = 12{\rm{\;cm}}.\) Gọi \(I\) và \(G\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm \(\Delta ABC.\)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(CD\) và \(BD.\)

b) Chứng minh \(IG\,{\rm{//}}\,BC.\)

c) Tính độ dài đoạn thẳng \(IG.\)

2) Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

Hình a

Hình b

Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài \(x\) của cây chống đứng bên và độ dài \(y\) của cánh kèo.

Đặt các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\] như hình vẽ trên.

⦁ Xét \(\Delta AMC\) có \(E,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,MC\) (do \(EA = EC,PM = PC)\) nên \(EP\) là đường trung bình của \(\Delta AMC.\)

Do đó \(EP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 2,7 = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay \(x = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

⦁ Ta có \(MB = MN + NB\) và \(MC = MP + PC\)

Mà \(MN = NB = MP = PC\) nên \(MB = MC.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) (do \(DB = DA,MB = MC)\) nên \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Do đó \[DM = \frac{1}{2}AC\] (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra \(AC = 2DM = 2 \cdot 2,8 = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\) Hay \[y = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\]

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là \(x = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right);\) \(y = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)