Cho hàm số bậc nhất \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \[y = --x.\] Khi đó hãy xác định tọa độ giao điểm \(A\) của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) bằng phép toán.

b) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = x + 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

c) Tính diện tích của tam giác \(ABC,\) trong đó \(B,\,\,C\) lần lượt là giao điểm của \(\left( d \right)\)và đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục \(Ox.\)

Hướng dẫn giải

Hàm số \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] là hàm số bậc nhất khi \(m + 2 \ne 0,\) hay \[m \ne --2.\]

a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng \[y = --x\] khi \[m + 2 = --1,\] tức là \[m = --3\] (thỏa mãn điều kiện \[m \ne --2).\]

Với \[m = --3\] ta có hàm số \[y = --x + 3.\]

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1.\)

Vì \[A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3\] nên ta có: \[{y_A} = --{x_A} + 3,\] do đó \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên ta có:

\(--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,\) suy ra \(2{x_A} = 2,\) do đó \({x_A} = 1.\)

Suy ra \({y_A} =  - 1 + 3 = 2.\)

Vậy \(A\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của \[\left( d \right):y = --x + 3\] với đường thẳng \(y = x + 1.\)

b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \[y = --x + 3:\]

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 3.\)

Đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\] và \[\left( {3;{\rm{ }}0} \right).\]

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 1:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 1;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x =  - 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Ta có đồ thị hai hàm số như sau:

c)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục hoành \(Ox\) là \[B\left( {--1;0} \right).\] Do đó \[OB = \left| { - 1} \right| = 1.\]

Giao điểm của đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] với trục hoành \(Ox\) là \[C\left( {3;0} \right).\] Do đó \[OC = \left| 3 \right| = 3.\]

Khi đó \(BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\left( {1;2} \right)\) xuống trục hoành.

Khi đó \(AH = \left| {{y_A}} \right| = 2\) và \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) (đơn vị diện tích).