1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)

a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.

b) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

2) Cho hình bình hành \[ABCD,\] \[AC\] cắt \[BD\] tại \[O.\] Đường phân giác góc \[A\] cắt \[BD\] tại \[M,\] đường phân giác \[D\] cắt \[AC\] tại \[N.\] Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)                                                       b) \[MN\,{\rm{//}}\,AD.\]

Hướng dẫn giải

a) Công thức biểu thị số tiền \[y\] (đồng) mà nhà bạn Mai phải trả khi sử dụng \[x\] (m3) trong tháng 10/2023 với \[x > 30\] là:

\[y{\rm{ }} = 7\,\,500 \cdot 10 + 8\,\,800 \cdot 10 + 12\,\,000 \cdot 10 + 24\,\,000\left( {x - 30} \right)\]

\[ = 75{\rm{ }}000 + 88{\rm{ }}000 + 120{\rm{ }}000 + 24{\rm{ }}000x--720{\rm{ }}000\]

\[ = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).

Vậy \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] (đồng).

b) Hàm số \[y = 24\,\,000x - 437\,\,000\] là hàm số bậc nhất của \[x\] vì mỗi giá trị của \[x\] chỉ xác định đúng 1 giá trị của \[y.\]

c) Do nhà bạn Lan đã phải trả \[427{\rm{ }}000\] đồng cho tiền nước tháng 11/2023 nên ta có:

\[24\,\,000x - 437\,\,000 = 427\,\,000\]

\[24\,\,000x = 864\,\,000\]

Suy ra \[x = 36\] (m³).

Vậy trong tháng 11/2023, nhà bạn Lan đã dùng 36 m³ nước.

Hướng dẫn giải

Hàm số \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] là hàm số bậc nhất khi \(m + 2 \ne 0,\) hay \[m \ne --2.\]

a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng \[y = --x\] khi \[m + 2 = --1,\] tức là \[m = --3\] (thỏa mãn điều kiện \[m \ne --2).\]

Với \[m = --3\] ta có hàm số \[y = --x + 3.\]

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1.\)

Vì \[A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3\] nên ta có: \[{y_A} = --{x_A} + 3,\] do đó \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên ta có:

\(--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,\) suy ra \(2{x_A} = 2,\) do đó \({x_A} = 1.\)

Suy ra \({y_A} =  - 1 + 3 = 2.\)

Vậy \(A\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của \[\left( d \right):y = --x + 3\] với đường thẳng \(y = x + 1.\)

b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \[y = --x + 3:\]

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 3.\)

Đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\] và \[\left( {3;{\rm{ }}0} \right).\]

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 1:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 1;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x =  - 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Ta có đồ thị hai hàm số như sau:

c)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục hoành \(Ox\) là \[B\left( {--1;0} \right).\] Do đó \[OB = \left| { - 1} \right| = 1.\]

Giao điểm của đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] với trục hoành \(Ox\) là \[C\left( {3;0} \right).\] Do đó \[OC = \left| 3 \right| = 3.\]

Khi đó \(BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\left( {1;2} \right)\) xuống trục hoành.

Khi đó \(AH = \left| {{y_A}} \right| = 2\) và \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) (đơn vị diện tích).