Một tam giác có bao nhiêu đường trung bình?

Hướng dẫn giải

Hàm số \[y = \left( {m + 2} \right)x + 3\] là hàm số bậc nhất khi \(m + 2 \ne 0,\) hay \[m \ne --2.\]

a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng \[y = --x\] khi \[m + 2 = --1,\] tức là \[m = --3\] (thỏa mãn điều kiện \[m \ne --2).\]

Với \[m = --3\] ta có hàm số \[y = --x + 3.\]

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với đường thẳng \(y = x + 1.\)

Vì \[A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3\] nên ta có: \[{y_A} = --{x_A} + 3,\] do đó \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên ta có:

\(--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,\) suy ra \(2{x_A} = 2,\) do đó \({x_A} = 1.\)

Suy ra \({y_A} =  - 1 + 3 = 2.\)

Vậy \(A\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của \[\left( d \right):y = --x + 3\] với đường thẳng \(y = x + 1.\)

b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \[y = --x + 3:\]

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 3.\)

Đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\] và \[\left( {3;{\rm{ }}0} \right).\]

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 1:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 1;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x =  - 1.\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Ta có đồ thị hai hàm số như sau:

c)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 1\) với trục hoành \(Ox\) là \[B\left( {--1;0} \right).\] Do đó \[OB = \left| { - 1} \right| = 1.\]

Giao điểm của đồ thị hàm số \[y = --x + 3\] với trục hoành \(Ox\) là \[C\left( {3;0} \right).\] Do đó \[OC = \left| 3 \right| = 3.\]

Khi đó \(BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\left( {1;2} \right)\) xuống trục hoành.

Khi đó \(AH = \left| {{y_A}} \right| = 2\) và \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) (đơn vị diện tích).

1)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot AC;\,\,IN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,IN.\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IN\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(N\) là trung điểm của \(AC.\)

Lại có \(IN \bot AC\) hay \(ID \bot AC\) nên hình bình hành \(ADCI\) là hình thoi.\(\)

b)

Kẻ \(IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),\) mà \(I\) là trung điểm của \(BC,\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta BKC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của \(KC\) hay \(KH = HC\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \[\Delta DIH\] có \(N\) là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên \(NK\) là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra \(K\)là trung điểm của \(DH\) hay \(DK = KH\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(DK = KH = HC.\) Do đó \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

2) a) Trong \(\Delta ABD\) có: \[AM\] là phân giác của góc \(\widehat {BAD}\) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Tương tự: trong \(\Delta ADC\) có \[DN\] là phân giác góc \(\widehat {ADC}\) nên \(\frac{{DC}}{{DA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

Mà \[AB = DC\] (do \[ABCD\] là hình bình hành) suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

b) Theo câu a, \(\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) suy ra \(\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1\) hay \(\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}\)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}\) \[\left( 1 \right)\]

Mà \[ABCD\] là hình bình hành nên hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại trung điểm \[O\] của mỗi đường, suy ra \[BD = 2DO,\] \[AC = 2AO\] \[\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}\] hay \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\)

Xét \(\Delta OAD\) có \(\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,AD\] (định lí Thalès đảo).