Một người điều khiển flycam để phục vụ một chương trình truyền hình. Người ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)với gốc tọa độ \(O\) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \(Oxy\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) có hướng trùng với hướng nam, trục \(Oy\) có hướng trùng với hướng đông, trục \(Oz\) vuông góc với mặt đất và hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên mỗi trục tương ứng với \(1(m)\). Ban đầu flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển \(100(m)\) về phía nam và \(150(m)\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(30(m)\). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người ta điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển \(80(m)\) về phía bắc và \(120(m)\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(50(m)\). Flycam bay từ vị trí A đến vị trí B theo một đường thẳng với tốc độ trung bình là \(a(m)\)trong thời gian \(45\) giây. Giá trị của \(a\) (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu?

Đáp án: 0,83.

Gọi hàm số biểu diễn quỹ đạo chuyển động của thuyền là \(y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).
Theo đề bài, cung đường \(AB\) là một phần của đồ thị hàm số này.
Điểm \(B( - 1;0)\) nằm trên đồ thị, nên: \(0 = \frac{{a( - 1) + b}}{{c( - 1) + d}} \Leftrightarrow  - a + b = 0 \Leftrightarrow b = a\quad (1)\)
Điểm \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\) nằm trên đồ thị, nên: \(\frac{5}{3} = \frac{{a(4) + b}}{{c(4) + d}}\quad (2)\)
Từ \((1)\), thay \(b = a\) vào \((2)\):\(\frac{5}{3} = \frac{{4a + a}}{{4c + d}} = \frac{{5a}}{{4c + d}}\)\( \Leftrightarrow 5(4c + d) = 15a\)\( \Leftrightarrow 4c + d = 3a\quad (3)\)
Quan sát đồ thị, ta thấy đường cong đi qua điểm \((0;1)\) (điểm giao với trục \(Oy\)). Giả sử điểm \((0;1)\) nằm trên đồ thị, khi đó: \(1 = \frac{{a(0) + b}}{{c(0) + d}} \Leftrightarrow 1 = \frac{b}{d} \Leftrightarrow b = d\quad (4)\)
Từ \((1)\) và \((4)\), ta có \(a = b = d\).
Thay \(d = a\) vào \((3)\): \(4c + a = 3a\)\( \Leftrightarrow 4c = 2a\)\( \Leftrightarrow a = 2c\quad (5)\)
Để đơn giản, ta chọn \(c = 1\), từ \((5)\) suy ra \(a = 2\).
Khi đó \(b = a = 2\) và \(d = a = 2\). Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\).
Kiểm tra lại với các điểm đã cho:
Với \(B( - 1;0)\): \(y = \frac{{2( - 1) + 2}}{{ - 1 + 2}} = \frac{0}{1} = 0\). (Thỏa mãn)
Với \(A\left( {4;\frac{5}{3}} \right)\): \(y = \frac{{2(4) + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{8 + 2}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\). (Thỏa mãn)
Gọi \(M(x;y)\) là một điểm trên cung đường \(AB\). Khoảng cách từ \(M\) đến gốc tọa độ \(O(0;0)\) là \(OM = \sqrt {{{(x - 0)}^2} + {{(y - 0)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Để \(OM\) ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(O{M^2} = S(x) = {x^2} + {y^2}\) với \(x \in [ - 1;4]\).
Thay \(y = \frac{{2x + 2}}{{x + 2}}\) vào \(S(x)\)ta được: \(S(x) = {x^2} + {\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right)^2}\).
Ta có: \(S'(x) = 2x + 2\left( {\frac{{2x + 2}}{{x + 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}} \right) = 2x + \frac{{4(2x + 2)}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)
\(S'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + \frac{{8x + 8}}{{{{(x + 2)}^3}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\).
Trên đoạn \([ - 1;4]\), ta tìm được nghiệm thực của phương trình \({x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} + 12x + 4 = 0\) là \({x_0} \approx  - 0,5826\).
Tại \(x =  - 1\) (điểm \(B\)): \(O{M^2} = {( - 1)^2} + {0^2} = 1\) \( \Rightarrow OM = 1\).
Tại \(x = 4\) (điểm \(A\)): \(O{M^2} = {4^2} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 16 + \frac{{25}}{9} = \frac{{144 + 25}}{9} = \frac{{169}}{9}\)\( \Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{169}}{9}}  = \frac{{13}}{3} \approx 4,333\).
Tại \({x_0} \approx  - 0.5826\), ta có: \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 2}}{{{x_0} + 2}} = \frac{{2 \cdot \left( { - 0,5826} \right) + 2}}{{ - 0,5826 + 2}} = \frac{{ - 1,1652 + 2}}{{1,4174}} = \frac{{0,8348}}{{1,4174}} \approx 0,58896\).
\(OM = \sqrt {x_0^2 + y_0^2}  = \sqrt {{{\left( { - 0,5826} \right)}^2} + {{\left( {0,58896} \right)}^2}} \)
\(OM = \sqrt {0,33942076 + 0,34687392}  = \sqrt {0,68629468}  \approx 0,82842\).
So sánh các giá trị \(OM\) tìm được giá trị nhỏ nhất là \(0,82842\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được \(0,83\).

Ta trải phẳng 3 mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\), \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {CBB'C'} \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Khi đó muốn nối dây điện từ bảng điểu khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên ngắn nhất thì độ dài của \(M{D_1} + M{D_2}\) ngắn nhất như hình vẽ bên dưới.

Theo các thông số đề bài cho ta có thể mô hình hóa bài toán bằng hình vẽ sau