Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\), \(CD = 2AB\). Biết \(C\left( {4;7} \right),D\left( {2;6} \right)\) và điểm \(E\left( {8;3} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm \(A\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).

Ta có \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2\).

Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)\).

Lại có \(ABCD\) là hình thang nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Do đó \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1\).

Có \(\overrightarrow {NA}  = \left( {1 - x;3 - y} \right);\overrightarrow {BN}  = \left( {x - 2;y + 4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {NA}  =  - 3\overrightarrow {BN} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 3\left( {x - 2} \right)\\3 - y =  - 3\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y =  - \frac{{15}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = \frac{5}{2} - \left( { - \frac{{15}}{2}} \right) = 10\).