Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {4;8} \right),C\left( { - 3;5} \right)\). Điểm \(D\left( {x;y} \right)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và diện tích hình thang \(ABCD\) bằng 3 lần diện tích tam giác \(ABD\). Tính \(x - y\).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \). Chọn A.

a) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\left( {\frac{{1 + 1 + 4}}{3};\frac{{3 + 6 + 3}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {2;4} \right)\).

b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 3 = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)\).

Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\). Do đó \(ABDC\) là hình thoi (1).

Lại có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0\)\( \Rightarrow AB \bot AC\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(ABDC\) là hình vuông.

d) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.