Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n} + \frac{3}{2};\,\,\forall n \in {\mathbb{N}_*}}\end{array}} \right..\) Giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án  __

Đặt \({u_n} = {v_n} + 3\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì \({v_1} = {u_1} - 3 = - 2.\)

Khi đó \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + 3 = \frac{1}{2}\left( {{v_n} + 3} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = \frac{1}{2}{v_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó, dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({v_1} = - 2\,;\,\,q = \frac{1}{2}\).

Do đó \({v_n} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}} \Rightarrow {u_n} = 3 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3.{\rm{ }}\)