Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\), với \[a,\,\,b\] là tham số. Với \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right].\) Khi \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất có thể được thì \(a + 2b\) bằng:

     

Theo bài ra, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \ge f\left( { - 1} \right)}\\{M \ge f\left( 3 \right)}\\{M \ge f\left( 1 \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \ge \left| { - a + b + 1} \right|}\\{M \ge \left| {3a + b + 9} \right|}\\{2M \ge 2\left| {a + b + 1} \right| = \left| { - 2a - 2b - 2} \right|}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(4M \ge \left| { - a + b + 1} \right| + \left| {3a + b + 9} \right| + \left| { - 2a - 2b - 2} \right| \ge \left| { - a + b + 1 + 3a + b + 9 - 2a - 2b - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow 4M \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 2.\)

Điều kiện cần để \(M = 2\) là \(\left| { - a + b + 1} \right| = \left| {3a + b + 9} \right| = \left| { - a - b - 1} \right| = 2\).

Và \( - a + b + 1\,,\,\,3a + b + 9\,,\,\, - a - b - 1\) cùng dấu

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + b + 1 = 3a + b + 9 = - a - b - 1 = 2}\\{ - a + b + 1 = 3a + b + 9 = - a - b - 1 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Ngược lại, với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\) thì \(f\left( x \right) = \left| {{x^2} - 2x - 1} \right|.\)

Xét hàm số \(g(x) = {x^2} - 2x - 1\) trên đoạn \[\left[ { - 1\,;\,\,3} \right].\]

Ta có \(g'\left( x \right) = 2x - 2\,;\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ { - 1\,;\,\,3} \right].\)

Do \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \[\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\] nên

\(M = \max \left\{ {\left| {g\left( { - 1} \right)} \right|\,\,;\,\,\left| {g\left( 3 \right)} \right|\,\,;\,\,\left| {g\left( 1 \right)} \right|} \right\} = 2.{\rm{ }}\)

Từ đó suy ra với \(\left( {a;b} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)\) thì thoả mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(a + 2b = - 4.\) Chọn C.