Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn \(({\rm{I}})\) và \(({\rm{K}})\) sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC . Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M , đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình vẽ). Chứng minh:
a) Ba điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng;
b) \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\);
c) \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\).
Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn \(({\rm{I}})\) và \(({\rm{K}})\) sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC . Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M , đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình vẽ). Chứng minh:
a) Ba điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng;
b) \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\);
c) \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AC tại điểm H (gt) \( \Rightarrow {\rm{IH}} \bot {\rm{AC}}\).
Tương tự đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AC tại điểm \({\rm{H}} \Rightarrow {\rm{KH}} \bot {\rm{AC}}\).
\( \Rightarrow {\rm{Ba}}\) điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng.
b) Ta có đường tròn \(({\rm{I}})\) tiếp xúc với cạnh AB tại M hay AM là tiếp tuyến của đường tròn (I).
lại có AH là tiếp tuyến của đường tròn (I) (cmt)\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AH}}\) (*)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh tương tự, ta có \({\rm{AH}} = {\rm{AN}}\)(**)
Từ (*) và (**)\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}\).
c) Ta có: \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \widehat {{\rm{IAH}}} + \widehat {{\rm{HAK}}}\) mà \(\widehat {{\rm{IAH}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAH}}}\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\widehat {{\rm{HAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{HAN}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{IAK}}}\)\( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{HAN}}} = \frac{1}{2}(\widehat {{\rm{MAH}}} + \widehat {{\rm{HAN}}})\)\( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAN}}}\)hay \( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\)( đpcm)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tam giác ABD , ta có: \({\rm{OB}} = {\rm{OA}} = {\rm{OD}}( = {\rm{R}}){\rm{ hay OB}} = \frac{1}{2}{\rm{AD}}\)
Chứng tỏ vuông tại Bhay \({\rm{DB}} \bot {\rm{AB}}\) (đpcm)
Chứng minh tương tự ta có \({\rm{CD}} \bot {\rm{AC}}\).
b) Ta có \({\rm{BH}}//{\rm{DC}}\) (cùng vuông góc với AC ). Tương tự \({\rm{CH}}//{\rm{BD}}( \bot {\rm{AB}})\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác BHCD là hình bình hành (các cạnh đối song song).
c) Ta có tam giác ACD vuông tại C (chứng minh trên) \( \Rightarrow {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{D}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2}\) (định lí Pythagore)
Mà \({\rm{DC}} = {\rm{BH}}({\rm{cmt}}) \Rightarrow {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} = {(2{\rm{R}})^2} = 4{{\rm{R}}^2}\).
d) * Ta có M là trung điểm của BC (gt) mà tứ giác BHCD là hình bình hành (cmt) nên đường chéo thứ hai HD phải qua trung điểm M hay ba điểm \({\rm{H}},{\rm{M}},{\rm{D}}\) thẳng hàng.
* Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD (gt)
M là trung điểm của HD ( cmt ) nên OM là đường trung bình của tam giác \({\rm{AHD}} \Rightarrow {\rm{AH}} = 2{\rm{OM}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
![Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/9-1769678131.png)
a) Gọi \[E,F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với các cạnh \[AB,AC\]
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AE = AF;BE = BD;CD = CF\]
Do đó: \[2BD = BD + BE = BC - CD + AB - AE = BC + AB - \left( {CD + AE} \right) = BC + AB - \left( {CF + AF} \right)\]
\[ = BC + AB - AC \Rightarrow BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}\]
b) Tương tự câu a) ta có: \[DC = \frac{{BC + AC - AB}}{2}\]
mà \[A{B^2} + AC{}^2 = B{C^2}\] (\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\]), do đó: \[BD.DC = \frac{{\left( {BC + AB - AC} \right)\left( {BC + AC - AB} \right)}}{4}\]
\[\frac{{B{C^2} - {{\left( {AB - AC} \right)}^2}}}{4} = \frac{{B{C^2} - A{B^2} - A{C^2} + 2AB.AC}}{4} = \frac{{AB.AC}}{2} = {S_{ABC}}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập