Cho ngũ giác đều \(ABCDE\). Gọi \(I\) là giao diểm của \(AD\) và \(BE\). Chứng minh rằng

 a) \(DIBC\) là hình bình hành;

 b) \(D{I^2} = AI \cdot AD\).

a) Ta có mỗi góc trong của ngũ giác đều có số đo là \(108^\circ \) hay \[\widehat {AED} = 108^\circ \];  Tam giác \[AED\]cân tại \[E\]từ đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}} = 36^\circ \); Tương tự tính được \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}} = 36^\circ  = \widehat {{D_1}}\)

Vậy \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{A_1}} = 72^\circ \) (góc ngoài của tam giác \(EAI\)) và \({D_2} = \widehat {EDC} - \widehat {{D_1}} = 108^\circ  - 36^\circ  = 72^\circ \). Vậy \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{I_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra \[IB//DC\]. Chứng minh tương tự ta có \[DI//BC\] hay \(DIBC\) là hình bình hành.

b) Xét tam giác \(AIE\) và tam giác \(EAD\), ta có

   + Góc \(A\) chung;

   + \(\widehat {AEI} = \widehat {ADE}\).

\( \Rightarrow \Delta AIE\~\Delta AED(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)suy ra \(\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{AD}}\) suy ra \(AI \cdot AD = A{E^2} \cdot B{C^2} = D{I^2}\)