Vẽ đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A,\,\,B\). Lấy hai điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(M \in a;\,\,N \notin a\). Khi đó, ba điểm nào thẳng hàng?

1.

a) \[\frac{5}{7} + \frac{4}{{ - 14}}\]\[ = \frac{5}{7} + \frac{{ - 2}}{7}\]\[ = \frac{3}{7}\];

b) \(\frac{2}{{11}}.\frac{{ - 5}}{4} + \frac{{ - 9}}{{11}}.\frac{5}{4} + 1\frac{3}{4}\)\( = \frac{2}{{11}}.\frac{{ - 5}}{4} + \frac{9}{{11}}.\frac{{ - 5}}{4} + \frac{7}{4}\)

\( = \frac{{ - 5}}{4}.\left( {\frac{2}{{11}} + \frac{9}{{11}}} \right) + \frac{7}{4}\)\( = \frac{{ - 5}}{4}.1 + \frac{7}{4}\)

\[ = \frac{5}{4} + \frac{7}{4}\]\[ = \frac{{12}}{4} = 3\].

2.

Với \(n \in \mathbb{N}\), phân số \[\frac{{7{n^2} + 1}}{6}\] là số tự nhiên nên \(\left( {7{n^2} + 1} \right) \vdots 6\).

Do đó \(\left( {6{n^2} + {n^2} + 1} \right) \vdots 6\) hay \(\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 6\).

Suy ra \(\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 2\) và \(\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 3\).

• Vì \(\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 2\) với \(n \in \mathbb{N}\) nên \({n^2}\,\cancel{ \vdots }\,2\).

Suy ra \[n\,\cancel{ \vdots }\,2\] hay \(\frac{n}{2}\) là phân số tối giản.

• Tương tự, do \(\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 3\) với \(n \in \mathbb{N}\) nên \(\frac{n}{3}\) là phân số tối giản.                                               

Vậy nếu phân số \[\frac{{7{n^2} + 1}}{6}\] là số tự nhiên với \(n \in \mathbb{N}\) thì các phân số \(\frac{n}{2}\) và \[\frac{n}{3}\] là các phân số tối giản.