II. PHẦN TỰ LUẬN

Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) \(\frac{{ - 2}}{5} - \frac{1}{3}\);                                                            b) \(\frac{1}{2}\,.\,\frac{3}{7} + \frac{1}{2}\,.\,\frac{4}{7}\);

c) \(\frac{5}{6} - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right):20\% \);     d) \(\frac{3}{{17}} \cdot \frac{6}{{29}} - \frac{3}{{17}} \cdot \frac{{35}}{{29}} + 2022\frac{3}{{17}}\).

a) Số trang sách bạn An đọc được trong ngày thứ nhất là:

\[120\,\,.\,\,\frac{2}{5} = 48\] (trang)

Vậy ngày thứ nhất bạn An đọc được 48 trang sách.

b) Sau ngày thứ nhất, số trang sách còn lại là:

\[120 - 48 = 72\] (trang);

Số trang sách ngày thứ hai bạn An đọc được là:

\[72\,\,.\,\,\frac{2}{3} = 48\] (trang);

Số trang sách bạn An đọc trong ngày thứ ba là:

\[72--48 = 24\] (trang).

Vậy trong ngày thứ ba bạn An đọc được 24 trang.

Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\].

Suy ra \[2S = 2\,\,.\,\,\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\]

\[ = \frac{2}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + ... + \frac{2}{{{2^{2022}}}}\]\[ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].

Ta có \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\] và \[2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].

Suy ra \(2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\) .

Hay \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} - ... - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)

\( = 1 + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}} = \frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}}\).

Mà \[{2^{2022}}--1 < {2^{2022}}\] nên  \[\frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}} < 1\];

Vậy \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\].