Cho \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\]. So sánh \[S\] với 1.
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 6 Chân trời sáng tạo có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\].
Suy ra \[2S = 2\,\,.\,\,\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\]
\[ = \frac{2}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + ... + \frac{2}{{{2^{2022}}}}\]\[ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].
Ta có \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\] và \[2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\].
Suy ra \(2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\) .
Hay \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} - ... - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)
\( = 1 + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)
\( = 1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}} = \frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}}\).
Mà \[{2^{2022}}--1 < {2^{2022}}\] nên \[\frac{{{2^{2022}} - 1}}{{{2^{2022}}}} < 1\];
Vậy \[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. • Hình chữ nhật có hai trục đối xứng chia hình chữ nhật thành hai phần (như hình vẽ).
• Hình lục giác đều có 6 trục đối xứng là các đường thẳng lần lượt chia hình lục giác thành hai nửa (như hình vẽ).
2.
a) Theo đề bài ta có hai điểm \[M\] và \[B\] thuộc tia \[AB\].
Mà độ dài đoạn thẳng \[AB = 6\] cm và \[AM = 3\] cm, suy ra \[AM < AB\].
Vậy điểm \[M\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[B\].
b) Vì điểm \[M\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[B\] nên:
\[AM + MB = AB\] với \[AB = 6\] cm và \[AM = 3\] cm;
Độ dài đoạn thẳng \[MB\] là: \[MB = AB--AM = 6--3 = 3\] (cm).
Suy ra: \[AM = MB = 3\] cm.
* Điểm \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] vì:
• Điểm \[M\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[B\];
• \[AM = MB\].
Lời giải
a) Số trang sách bạn An đọc được trong ngày thứ nhất là:
\[120\,\,.\,\,\frac{2}{5} = 48\] (trang)
Vậy ngày thứ nhất bạn An đọc được 48 trang sách.
b) Sau ngày thứ nhất, số trang sách còn lại là:
\[120 - 48 = 72\] (trang);
Số trang sách ngày thứ hai bạn An đọc được là:
\[72\,\,.\,\,\frac{2}{3} = 48\] (trang);
Số trang sách bạn An đọc trong ngày thứ ba là:
\[72--48 = 24\] (trang).
Vậy trong ngày thứ ba bạn An đọc được 24 trang.
Câu 3
A. \(\frac{1}{4}\);
B. \(\frac{1}{2}\);
C. \(\frac{5}{8}\);
D. \(\frac{2}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Điểm \[N\] nằm giữa hai điểm \[M\] và \[P\];
B. Hai điểm \[M\] và \[P\] nằm cùng phía đối với điểm \[N\];
C. Hai điểm \[N\] và P nằm khác phía đối với điểm \[M\];
D. Điểm \[M\] nằm giữa hai điểm \[N\] và \[P\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{13}}{5}\);
B. \(\frac{{ - 10}}{5}\);
C. \(\frac{{ - 13}}{5}\);
D. \(\frac{{ - 7}}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập