Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right),B\left( {2;0;\frac{3}{2}} \right)\). Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Biết giá trị của biểu thức \(P = a + b + c + d\) là phân số \(\frac{m}{n}\) tối giản, \(m,n \in {\mathbb{Z}^ + }\). Tính \(m + n.\)

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + 2m = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {13 - 2m} \) với \(m < \frac{{13}}{2}\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3;3} \right)\) và có một vtcp là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

\(d = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\).

Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\) nên ta có \({d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = {R^2} \Leftrightarrow {3^2} + 16 = 13 - 2m \Leftrightarrow m =  - 6\). ( thỏa điều kiện).

Gọi \[D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {x + 2;y;z} \right);\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( {x;y + 2;z} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {x;y;z + 2} \right)\].

Vì \(DA,DB,DC\) đôi một vuông góc nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD}  = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + {z^2} = 0\\x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + z\left( {z + 2} \right) = 0\\{x^2} + y\left( {y + 2} \right) + z\left( {z + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z =  - \frac{4}{3}\).

\(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{4}{3}} \right)^2}\end{array} \right.\].