Tính thể tích khối chóp tam giác đều có cạnh đáy \(2a\) và độ dài đường cao \(a\).

Một trang trại dự định dành 100 ha đất để trồng ba loại cây: Cao su, Cây phê và Hồ tiêu. Lợi nhuận hàng năm ước tính của Cao su là 40 triệu đồng/ha, Cà phê là 60 triệu đồng/ha và Hồ tiêu là 80 triệu đồng/ha. Do các yếu tố về quy hoạch và tài nguyên nước, diện tích trồng các loại cây phải tuân thủ các điều kiện sau:

1.Tổng diện tích trồng Cà phê và Hồ tiêu không được vượt quá diện tích trồng Cao su.

2. Diện tích trồng Hồ tiêu không được vượt quá 20 ha.

3. Diện tích trồng Cà phê không được vượt quá 3 lần diện tích trồng Hồ tiêu.

Hỏi tổng lợi nhuận thu được hàng năm của trang trại đó lớn nhất là bao nhiêu tỷ đồng?

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Trên các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), \(\left( {CDA} \right)\), \(\left( {DAB} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt lấy các điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\), \({D_1}\) sao cho các đường thẳng \({A_1}{B_1}\), \({B_1}{C_1}\), \({C_1}{D_1}\), \({D_1}{A_1}\) lần lượt vuông góc với các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), \(\left( {CDA} \right)\), \(\left( {DAB} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\). Biết thể tích khối tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) bằng \(\frac{a}{b}\sqrt 2 \) với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b\).

Anh A mở một nhà hàng lẩu. Anh đã trang bị cho mỗi bàn ăn một nồi lẩu có dạng hai hình trụ đồng trụ. Bán kính đáy nồi (ngoài) \[R = 15\]cm, bán kính trụ giữa (trong) là \[r = 3,5\] cm, chiều cao long nồi là \[h = 10\] cm. Để khách hàng có trải nghiệm tốt nhất, anh A cần xác định chiều dài tối thiểu \[L\] của chiếc đũa sao cho dù đầu đũa có bị trượt vào vị trí nào trong nồi, phần đầu đũa thừa ra ngoài miệng nồi vẫn phải lớn hơn 5 cm. Tính\[L\](kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

 Một xưởng mộc dùng gỗ sồi để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là \(5625\) USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là \(10\) USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn, và lưu ý rằng trong mỗi ngày của chu kì sản xuất (thời gian giữa hai lần nhập nguyên liệu liên tiếp) thì lượng nguyên liệu lưu trữ trung bình mỗi ngày được tính bằng một nửa tổng lượng nguyên liệu tồn kho đầu kì và lượng nguyên liệu tồn kho cuối kì. Giả sử nguyên liệu được nhập về sau mỗi \(x\) ngày.

Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R > 0\) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách \(I\) một khoảng bằng \(R\). Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đơn vị trên hệ trục là centimet, một tổ kiến có bề mặt là một mặt cầu tâm là gốc tọa độ và bán kính \(R = 6{\rm{cm}}\), ở điểm \(A\left( {20;0;0} \right)\) có \(10\) miếng mồi và ở điểm \(B\left( {0;20;0} \right)\) có \(3\) miếng mồi. Một con kiến trên bề mặt tổ, mỗi lần đi đến \(A\) hoặc \(B\) tha đúng một miếng mồi về tổ. Hỏi tổng quãng đường ngắn nhất con kiến đó đi là bao nhiêu centimet để con kiến tha hết \(13\) miếng mồi về tổ (kết quả làm tròn hàng đơn vị)?

Mèo Táo có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt, Táo đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm \(44\) tập đang được sắp xếp từ 1 tới \(44\) trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ \(44\) tới \(1\) theo quy tắc: Đổi chỗ \(2\) tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính \(1\) điểm; đổi chỗ \(2\) tập truyện mà ở giữa chúng có \(3\) tập khác thì không bị tính điểm. Bạn An muốn ứng tuyển vào nhân viên cửa hàng. Hỏi điểm số nhỏ nhất của An là bao nhiêu điểm để thực hiện được thử thách trên?