Tính thể tích khối chóp tam giác đều có cạnh đáy \(2a\) và độ dài đường cao \(a\).
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
D. \({a^3}\sqrt 3 \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
Thể tích của khối chóp được tính theo công thức \(V = \frac{1}{3}Bh\), trong đó \(B\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp.
Theo đề bài: Khối chóp là chóp tam giác đều, nên đáy là một tam giác đều. Cạnh đáy của tam giác đều là \(2a\). Chiều cao của khối chóp là \(a\).
Suy ra diện tích đáy là: \(B = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
\(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}({a^2}\sqrt 3 )a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) [TH] Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng \(\frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\).
Đúng
Sai
b) [TH] Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(4{a^3}\sqrt 2 \).
Đúng
Sai
c) [TH] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC\) gấp ba lần khoảng cách từ \(H\) đến \(\left( {ACC'A'} \right)\).
Đúng
Sai
d) [VD] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC\) bằng \(\frac{{2a\sqrt {34} }}{{17}}\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có: \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{{2a}}{3}\).
Độ dài đường cao của lăng trụ là: \(A'H = \sqrt {A'{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy khẳng định a đúng.
b) Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}AB.AC.A'H = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{{4a\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy khẳng định b sai.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC\) là:
\(d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right)\)
(Vì \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)).
Vậy khẳng định c đúng.
d) Kẻ \(HJ\) song song với \(AB\), \(J \in AC\), \(HJ \cap BC = I\)
\(HJ = \sqrt {A{H^2} - A{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
Trong \(\left( {A'HJ} \right)\), kẻ \(HE \bot A'J\) tại \(E\)
Khi đó:
\(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{9}{{32{a^2}}} + \frac{9}{{2{a^2}}} = \frac{{9.17}}{{32{a^2}}} \Rightarrow HE = \frac{{4a\sqrt 2 }}{{3\sqrt {17} }}\).
\(d\left( {BB';AC} \right) = 3d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HE = \frac{{4a\sqrt {34} }}{{17}}\).
Vậy khẳng định d sai.
Lời giải
Đáp án: \(163\).
Gọi \(O\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\).
Theo giả thiết, ta có \(OA \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(OA{\rm{//}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = {k_1}\overrightarrow {OA} \).
Tương tư: \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = {k_2}\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = {k_3}\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {k_4}\overrightarrow {OD} \).
Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow 0 \)\[ \Leftrightarrow {k_1}\overrightarrow {OA} + {k_2}\overrightarrow {OB} + {k_3}\overrightarrow {OC} + {k_4}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].
Vì \(O\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) nên suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
Hay \({k_1}\overrightarrow {OA} + {k_1}\overrightarrow {OB} + {k_1}\overrightarrow {OC} + {k_1}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left( {{k_1} - {k_2}} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {{k_1} - {k_3}} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {{k_1} - {k_4}} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \). \(\left( * \right)\)
Do các vecto \(\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OD} \) không đồng phẳng nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} = {k_3} = {k_4} = k\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 1;1} \right)\).
Khi đó: \[AB = BC = CD = DA = AC = BD = 2\sqrt 2 \].
Vì tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\) nên \(1\) đơn vị trên trên trục bằng \(2\sqrt 2 \)đơn vị độ dài.
Ta có :
\(\left( {BCD} \right)\) : \(x + y + z + 1 = 0\)
\(\left( {CDA} \right):x - y - z + 1 = 0\).
\(\left( {DAB} \right): - x + y - z + 1 = 0\).
\(\left( {ABC} \right): - x - y + z + 1 = 0\).
Gọi \({A_1}\left( {x;y;z} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = k\overrightarrow {OA} \)\[ \Rightarrow {B_1}\left( {x + k;y + k;z + k} \right)\].
Tương tụ \({C_1}\left( {x + 2k;y;z} \right)\) và \({D_1}\left( {x + k;y + k;z - k} \right)\).
Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z + 1 = 0}\\{x + k - \left( {y + k} \right) - \left( {z + k} \right) + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + 2k} \right) + y - k + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + k} \right) - \left( {y + k} \right) + z - k + 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = - \frac{1}{3}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{k = \frac{2}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.\).
Vậy \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
Suy ra \(V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{B_1}{C_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{D_1}} } \right]} \right| = \frac{{16}}{{81}}\) (đơn vị thể tích trên trục)
Do đó \(V = \frac{{16}}{{81}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{{162}}\) (đơn vị thể tích)
Vậy \(a + b = 163\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) [NB] Một chu kì sản xuất, xưởng mộc phải nhập về \(5x\) đơn vị nguyên liệu.
Đúng
Sai
b) [NB] Chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong \(x\) ngày của một chu kì sản xuất là \(50{x^2}\) USD.
Đúng
Sai
c) [TH] Hàm chi phí trung bình mỗi ngày trong một chu kì sản xuất là \(c(x) = 50x + \frac{{5625}}{x}\).
Đúng
Sai
d) [VD] Để chi phí trung bình mỗi ngày của một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên nhập hàng sau mỗi \(15\) ngày và mỗi lần nhập về 75 đơn vị nguyên liệu.
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập