Trong không gian cho hệ trục tọa độ \(Oxyz\)có \(\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\). Cho hai điểm \(A\) và \(B\). Biết \(A\) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là một điểm thuộc tia \(Ox\). Góc hợp bởi \(OA\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\alpha \) với \(\sin \alpha = \frac{1}{3},\,\,AB = 10,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow j \), góc hợp bởi \(OB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\beta \) với \(\sin \beta = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Gọi biến cố A: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ dễ” \( \Rightarrow P(A) = 0,8\).

Biến cố B: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ trung bình” \( \Rightarrow P(B) = 0,6\).

Biến cố C: “An làm đúng mỗi câu đề ôn tập ở mức độ khó” \( \Rightarrow P(C) = 0,15\).

a) Sai. Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là

\(P\left( {ABC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,15 = 0,072 = 7,2\% \).

b) Sai. Khi An làm 3 câu thuộc ba loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là

\(P\left( {AB\overline C \cup A\overline B C \cup \overline A BC} \right) = 0,8 \times 0,6 \times 0,85 + 0,8 \times 0,4 \times 0,15 + 0,2 \times 0,6 \times 0,15 = 0,474\).

c) Đúng. Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là \(0,072\).

Xác suất để An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình là \(0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064 < 0,072\).

Đáp án: 2550.

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần (\(a < b < c\)).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất: \(a + c = 2b\)

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu \(a\) và số cuối \(c\) phải là một số chẵn (vì \(2b\) luôn chẵn).

Để tổng \((a + c)\) là số chẵn, thì \(a\) và \(c\) phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối (\(a\) và \(c\)) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa (\(b = \frac{{a + c}}{2}\)) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa \(a\) và \(c\).

\( \Rightarrow \) Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp \(S = \{ 1,2,3,...,102\} \) có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: \(\{ 1,3,5,...,101\} \). Số lượng = \(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) số.

Số lượng số chẵn là: \(\{ 2,4,6,...,102\} \). Số lượng = \(\frac{{102 - 2}}{2} + 1 = 51\) số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối \(a,c\) từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51: \(C_{51}^2 = \frac{{51.50}}{2} = 1275{\rm{ (c\'a ch)}}\).

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là:

1275 + 1275 = 2550 cách