Cho tam giác \(ABC\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BG = 2GC\). Vẽ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(AD\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

a) Chứng minh \(A;G;E\) thẳng hàng;

b) Chứng minh: \(\frac{{AB + BD - AD}}{2} < BC < \frac{{AB + BD + AD}}{2}\).

Gọi \(x;\,\,y;\,\,z\) (tờ) lần lượt là số tờ tiền \(2\,\,000\) đồng; \(5\,\,000\) đồng và \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x;\,\,y;\,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì có tất cả \(16\) tờ tiền nên \(x + y + z = 16\).

Vì tổng giá trị mỗi loại tiền là như nhau nên số tờ tiền mỗi loại và giá trị một tờ tiền mỗi loại tỉ lệ nghịch với nhau.

Ta có: \(x.2000 = y.5000 = z.10000\)

Suy ra \(\frac{{2\,\,000x}}{{10\,\,000}} = \frac{{5\,\,000y}}{{10\,\,000}} = \frac{{10\,\,000z}}{{10\,\,000}}\) hay \(\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 2 + 1}} = \frac{{16}}{8} = 2\).

Khi đó, \(\frac{x}{5} = 2\) nên \(x = 2\,\,.\,\,5 = 10\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{2} = 2\) nên \(y = 2\,\,.\,\,2 = 4\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{1} = 2\) nên \(z = 1\,\,.\,\,2 = 2\) (thỏa mãn).

Vậy số tờ tiền mỗi loại \(2\,\,000\) đồng; \(5\,\,000\) đồng; \(10\,\,000\) đồng lần lượt là \(10\) tờ; \(4\) tờ; \(2\) tờ.

a) \(\frac{5}{x} = \frac{{12}}{{ - 13}}\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

\(12x = 5.\left( { - 13} \right)\)

\(12x =  - 65\)

\(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\).

b) \(\frac{{\left| {2x - 5} \right|}}{{ - 21}} = \frac{{ - 3}}{7}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = \left( { - 3} \right).\left( { - 21} \right)\)

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = 63\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 63:7\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 9\)

Trường hợp 1: \(2x - 5 =  - 9\)

\(2x = \left( { - 9} \right) + 5\)

\(2x =  - 4\)

\(x = \left( { - 4} \right):2\)

\(x =  - 2\)

Trường hợp 2: \(2x - 5 = 9\)

\(2x = 9 + 5\)

\(2x = 14\)

\(x = 14:2\)

\(x = 7\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,7} \right\}\).

c) \(\frac{{4x - 2}}{8} = \frac{{32}}{{4x - 2}}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left( {4x - 2} \right)\,\,.\,\,\left( {4x - 2} \right) = 8\,\,.\,\,32\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = 256\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = {16^2} = {\left( { - 16} \right)^2}\)

Trường hợp 1: \(4x - 2 = 16\)

\(4x = 16 + 2\)

\(4x = 18\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Trường hợp 2: \(4x - 2 =  - 16\)

\(4x = \left( { - 16} \right) + 2\)

\(4x =  - 14\)

\(x = \frac{{ - 7}}{2}\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 7}}{2}} \right\}\).