Cho tam giác \(ABC\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BG = 2GC\). Vẽ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(AD\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

a) Chứng minh \(A;G;E\) thẳng hàng;

b) Chứng minh: \(\frac{{AB + BD - AD}}{2} < BC < \frac{{AB + BD + AD}}{2}\).

a) \(\frac{5}{x} = \frac{{12}}{{ - 13}}\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

\(12x = 5.\left( { - 13} \right)\)

\(12x =  - 65\)

\(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 65}}{{12}}\).

b) \(\frac{{\left| {2x - 5} \right|}}{{ - 21}} = \frac{{ - 3}}{7}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = \left( { - 3} \right).\left( { - 21} \right)\)

\(\left| {2x - 5} \right|.7 = 63\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 63:7\)

\(\left| {2x - 5} \right| = 9\)

Trường hợp 1: \(2x - 5 =  - 9\)

\(2x = \left( { - 9} \right) + 5\)

\(2x =  - 4\)

\(x = \left( { - 4} \right):2\)

\(x =  - 2\)

Trường hợp 2: \(2x - 5 = 9\)

\(2x = 9 + 5\)

\(2x = 14\)

\(x = 14:2\)

\(x = 7\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,7} \right\}\).

c) \(\frac{{4x - 2}}{8} = \frac{{32}}{{4x - 2}}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\left( {4x - 2} \right)\,\,.\,\,\left( {4x - 2} \right) = 8\,\,.\,\,32\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = 256\)

\({\left( {4x - 2} \right)^2} = {16^2} = {\left( { - 16} \right)^2}\)

Trường hợp 1: \(4x - 2 = 16\)

\(4x = 16 + 2\)

\(4x = 18\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Trường hợp 2: \(4x - 2 =  - 16\)

\(4x = \left( { - 16} \right) + 2\)

\(4x =  - 14\)

\(x = \frac{{ - 7}}{2}\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 7}}{2}} \right\}\).

a) \(A\left( x \right) = 6{x^2} - 5x + {x^3} - 4{x^2} + 7\)\( = {x^3} + \left( {6{x^2} - 4{x^2}} \right) - 5x + 7\)

\( = {x^3} + 2{x^2} - 5x + 7\);

\(B\left( x \right) =  - 2{x^2} - 5x + 11 + 2{x^2} + {x^3}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) - 5x + 11\)

\( = {x^3} + 0 - 5x + 11\)\( = {x^3} - 5x + 11\);

Khi đó, \[M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\]\[ = \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x + 7} \right) - \left( {{x^3} - 5x + 11} \right)\]

\[ = {x^3} + 2{x^2} - 5x + 7 - {x^3} + 5x - 11\]\[ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2{x^2} + \left( { - 5x + 5x} \right) + \left( {7 - 11} \right)\]

\[ = 0 + 2{x^2} + 0 - 4\]\[ = 2{x^2} - 4\]

b) Ta có: Để đa thức có nghiệm thì \(M\left( x \right) = 0\).

Ta có: \[2{x^2} - 4 = 0\]

\[2{x^2} = 0 + 4\]

\[2{x^2} = 4\]

\[{x^2} = 4:2\]

\[{x^2} = 2\]

\({x^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\)

\(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - \sqrt 2 \)

Để \(M\left( x \right)\) có nghiệm thì \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - \sqrt 2 \).