Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{{3x}}\) có đồ thị \((C)\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\).

Toạ độ giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là nghiệm của hệ

phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{x + 1}}{{3x}}}\\{y = x + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{{3x}} = x + 1}\\{y = x + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 2x - 1 = 0}\\{y = x + 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 0}\\{x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(( - 1;0)\) là:

\(y - 0 = {f^\prime }( - 1)(x + 1) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{3}(x + 1) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}.\)

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(\left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) là:

\(y - \frac{4}{3} = {f^\prime }\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow y =  - 3\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \frac{4}{3} \Leftrightarrow y =  - 3x + \frac{7}{3}.\)