Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s =  - {t^3} + {t^2} + t + 4\) (\(t\) là thời gian tính bằng giây). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Hàm gia tốc \(a\left( t \right)\) là đạo hàm cấp hai của hàm li độ \(x\left( t \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}x'\left( t \right) =  - 5\pi \sin \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) =  - 5{\pi ^2}\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên ta có \( - 5{\pi ^2} \le a\left( t \right) \le 5{\pi ^2}\)

\(\max a\left( t \right) = 5{\pi ^2}\) đạt được khi \[\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \pi t + \frac{\pi }{2} = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} + 2k\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vì thời gian \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất là \(t = \frac{1}{2}\) (giây) (ứng với \(k = 0\))