Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(AB = a\). Cạnh bên \(SA = \sqrt 2 .SC\) và \(SB = SD = a\) ( hình vẽ tham khảo). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

\(AN,BN\) lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) nên \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\Delta NAB\) cân tại \(N\) và \(MN \bot AB\).

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\). Ta có:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = a,\overrightarrow {AC}  = b,\overrightarrow {AD}  = c\).

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  =  - \vec a + \vec b\)

\(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM}  = ( - \vec a + \vec b)\left( { - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c - \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} + \vec b \cdot \vec c} \right)\)

Do $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=a^2\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} + {{\vec a}^2} + \frac{1}{2}{{\vec a}^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(MN\) và \(BC\).

$\text{ Ta có }\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BC}|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{. Suy ra }\phi ={45}^{°}\text{. }$