Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch \(x\) và \(y\); \[{x_1}\]; \[{x_2}\] là hai giá trị của \(x\); \[{y_1}\]; \[{y_2}\] là hai giá trị tương ứng của \(y\). Biết \[{y_1} = 3\], \[{y_2} = 5\] và \[{x_1} + {x_2} = 16\]. Giá trị của \[{x_1}\] là

a) Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta BIC\) có:

\[IA = IB\] (do \[I\] là trung điểm của \[AB\]);

\(\widehat {AIM} = \widehat {BIC}\) (hai góc đối đỉnh);

\[IM = IC\] (giả thiết).

Do đó \(\Delta AIM = \Delta BIC\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ANE\)  và \(\Delta CBE\) có:

\[EA = EC\] (do \[E\] là trung điểm của \[AC\]);

\(\widehat {AEN} = \widehat {CEB}\) (hai góc đối đỉnh);

\[EN = EB\] (giả thiết).

Do đó \[\Delta ANE = \Delta CBE\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {NAE} = \widehat {BCE}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {NAE},\,\,\,\widehat {BCE}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \[AN{\rm{ // }}BC\].

c) Do \(\Delta AIM = \Delta BIC\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {MAI} = \widehat {CBI}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {MAI},\,\,\widehat {CBI}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \[AM{\rm{ // }}BC\].

Mặt khác \[AN{\rm{ // }}BC\] (theo câu b).

Do đó qua điểm \[A\] có hai đường thẳng song song với \[BC\] nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng \[AM\] và \[AN\] trùng nhau hay ba điểm \[A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\] thẳng hàng.

Lại có \[\Delta ANE = \Delta CBE\] (theo câu b) nên \[AN = CB\] (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác \[AM = BC\] (do \(\Delta AIM = \Delta BIC\)).

Do đó\[AM = AN\](cùng bằng \[BC\]).

Ba điểm \[A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\] thẳng hàng và \[AM = AN\] nên \[A\] là trung điểm của \[MN\].