Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Trên tia đối của tia \[IC\], lấy điểm \[M\] sao cho \[IM = IC\].

a) Chứng minh rằng \[\Delta AIM = \Delta BIC\].

b) Gọi \[E\] là trung điểm của \[AC\]. Trên tia đối của tia \[EB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[EN = EB\]. Chứng minh \[AN{\rm{ // }}BC\].

c) Chứng minh rằng \[A\] là trung điểm của đoạn \[MN\].

Ta có \(\frac{a}{{2014}} = \frac{b}{{2015}} = \frac{c}{{2016}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{{2014}} = \frac{b}{{2015}} = \frac{c}{{2016}} = \frac{{a - b}}{{2014 - 2015}} = \frac{{b - c}}{{2015 - 2016}} = \frac{{c - a}}{{2016 - 2014}}\)

\( = \frac{{a - b}}{{ - 1}} = \frac{{b - c}}{{ - 1}} = \frac{{c - a}}{2}\).

Suy ra \(\frac{{2\left( {a - b} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {c - a} \right)}}{2} = c - a\).

Do đó \(\frac{{2\left( {a - b} \right)}}{{ - 1}}\,\,.\,\,\frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {c - a} \right)}}{2}\,\,.\,\,\left( {c - a} \right)\).

Hay \(4\left( {b - c} \right) = \left( {c - a} \right)\,\,.\,\,\left( {c - a} \right)\).

Vậy \(4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) = {\left( {c - a} \right)^2}\) (đpcm).

Gọi số tiền ba công ty \(A,B,C\)đã góp vốn lần lượt là \(x,y,z\) (triệu đồng).

Số tiền góp vốn của ba công ty \(A,B,C\) lần lượt tỉ lệ với ba số \[7;9;8\] nên \(\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8}\)

Tổng số tiền ba công ty góp được là \(1,2\) tỉ đồng (1 200 triệu đồng) nên \(x + y + z = 1\,\,200\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8} = \frac{{x + y + z}}{{7 + 9 + 8}} = \frac{{1200}}{{24}} = 50\).

Suy ra \[x = 7\,\,.\,\,50 = 350\,;\,\,y = 9\,\,.\,\,50 = 450\,;\,\,z = 8\,\,.\,\,50 = 400\]  (thỏa mãn)

Vậy số tiền ba công ty \(A,B,C\) đã góp vốn lần lượt là 350 triệu đồng, 450 triệu đồng, 400 triệu đồng.