Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có đáy bằng \[2a\], \[SA\] tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính theo\[a\] khoảng cách \[d\] giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[CD\].
A. \(d = \frac{{2\sqrt {10} a}}{5}\).
B. \(d = \frac{{3\sqrt {14} a}}{5}\).
C. \(d = \frac{{4\sqrt 5 a}}{5}\).
D. \(d = \frac{{2\sqrt {15} a}}{5}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\)
Vì \[SA\] tạo với đáy một góc \(30^\circ \) nên \(\widehat {SAO} = 30^\circ \).
Do đó: \(\tan 30^\circ = \frac{{SO}}{{AO}}\)\( \Rightarrow SO = AO \cdot \tan 30^\circ \)\( = a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Mặt khác, \(d = d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right)\)\( = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right)\).
Gọi \[I\], \[J\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên \(AB\), \(SI\). Ta có \(OI = a.\)
Xét tam giác \(SOI\):\({\rm{ }}\frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{2{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\)\( \Rightarrow O{J^2} = \frac{{2{a^2}}}{5}\)\( \Rightarrow OJ = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).
Vậy \(d = \frac{{2\sqrt {10} a}}{5}\). Chọn A.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(2x + 4y - 3z - 8 = 0\).
B. \(2x + 4y - 3z = 0\).
C. \(2x + 4y - 3z + 8 = 0\).
D. \(2x - 4y - 3z = 0\).
Lời giải
Lời giải
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) và \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
Do đó \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là: \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 3z = 0\). Chọn B.
Câu 2
A. \[2x - 3y + 4z \pm \sqrt[3]{{36}} = 0\].
B. \[2x - 3y + 4z + \frac{3}{2} = 0\].
C. \[2x - 3y + 4z \pm 12 = 0\].
D. \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\].
Lời giải
Lời giải
Vì \[AB \bot \left( P \right)\] nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\], do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \[2x - 3y + 4z + d = 0\].
Từ đây tìm được \[D\left( { - \frac{d}{2};0;0} \right)\], \[E\left( {0;\frac{d}{3};0} \right)\], \[F\left( {0;0; - \frac{d}{4}} \right)\] suy ra \[OD = \frac{{\left| d \right|}}{2}\], \[OE = \frac{{\left| d \right|}}{3}\], \[OF = \frac{{\left| d \right|}}{4}\].
Mặt khác tứ diện \[ODEF\] có \[OD,OE,OF\] đôi một vuông góc nên
\[{V_{ODEF}} = \frac{1}{6}OD \cdot OE \cdot OF\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\left| d \right|} \right)}^3}}}{{144}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d = \pm 6\].
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\]. Chọn D.
Câu 3
A. 7.
B. \(\frac{{\sqrt {377} }}{7}\).
C. \(\sqrt {377} \).
D. \(\frac{{\sqrt {377} }}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(S = 95,7{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
B. \(S = 96,25{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
C. \(S = 94{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
D. \(S = 87,5{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({10^{164}}.\)
B. \({10^{100}}.\)
C. \({10^{200}}.\)
D. \({10^{144}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
B. Điểm E không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
C. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
D. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập