Chứng minh rằng:
\(\frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}} = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \frac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\).
Chứng minh rằng:
\(\frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}} = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \frac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\).
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(\frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}} = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - x + x - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\)
\( = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} - \frac{{x - y}}{{1 + yz}} + \frac{{x - z}}{{1 + yz}} - \frac{{x - z}}{{1 + zx}}\)
\( = \left( {x - y} \right)\left( {\frac{1}{{1 + xy}} - \frac{1}{{1 + yz}}} \right) + \left( {x - z} \right)\left( {\frac{1}{{1 + yz}} - \frac{1}{{1 + zx}}} \right)\)
\[ = \left( {x - y} \right)\frac{{yz - xy}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \left( {x - z} \right)\frac{{zx - yz}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]
\[ = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \frac{{z\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]
\[ = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} - \frac{{z\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{y\left( {1 + zx} \right) - z\left( {1 + xy} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{y - z}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]
\( = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \frac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Tập hợp \[M\] gồm các kết quả xảy ra đối với tên học sinh được chọn ra là :
\[M\] = {Hoa; Mai; Linh; My; Cường; Hường; Mỹ; Kiên; Phúc; Hoàng}.
Số phần tử của tập hợp \[M\] là 10.
b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra là học sinh nam” đó là Cường; Hường; Mỹ; Kiên ; Phúc; Hoàng.
Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\) .![2. Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\] a) Chứng minh: \[\Delta ABD\] đồng dạng với \[\Delta ACF\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid5-1771986427.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
1.
![2. Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\] a) Chứng minh: \[\Delta ABD\] đồng dạng với \[\Delta ACF\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid3-1771986369.png)
Gấp miếng bìa ta được hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có kích thước như hình vẽ.
Khi đó đáy \(ABCD\) là hình vuông và các mặt bên là các tam giác cân.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Khi đó \(BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) có \(SM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(SM \bot BC\) do đó \(\Delta SBM\) vuông tại \(M.\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có \(S{B^2} = S{M^2} + B{M^2}\).
Suy ra \(S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {13^2} - {5^2} = 144.\)
Do đó \(SM = 12{\rm{\;cm}}.\)
Diện tích của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 10} \right) \cdot 12 = 240{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
2.
![2. Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\] a) Chứng minh: \[\Delta ABD\] đồng dạng với \[\Delta ACF\]. (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid4-1771986391.png)
Vì \[H\] là giao của ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]
a) Xét DABD và DACF có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAF}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó .
b) Ta có: (cmt) suy ra \(\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADF\] có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DAF}\); \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)
Do đó .
c) • Xét \[\Delta BEH\] và \[\Delta BDC\] có:
\(\widehat {EBH} = \widehat {DBC}\); \(\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó .
Suy ra \(\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BD = BE \cdot BC\) (1)
• Xét \[\Delta CEH\] và \[\Delta CFB\] có:
\(\widehat {ECH} = \widehat {FCB}\); \(\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}\) hay \(CH \cdot CF = CE \cdot CB\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC\]
\[ = BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}\] (đpcm).
• Mặt khác, ta có:
\(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\( = \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}\)
\( = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}\)\( = \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm).
Vậy \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập