Cho đường thẳng \(\left( d \right):y =  - 3x\) và đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2.\)

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm \(a\,,\,\,b\) để đường thẳng \(\left( {d''} \right):y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) và song song với \(\left( {d'} \right).\)

a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAB\] có:

\[\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABH\backsim \Delta CBA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$  .

b) Lần lượt xét hai tam giác vuông \[ABC\] và \[ABH\] có:

+) \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 90^\circ \) (1)

+) \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 180^\circ  - \widehat {AHB} = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {BAH}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\))

Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAH\] có:

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABH\backsim \Delta CAH\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$  .

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = HB \cdot HC\) (đpcm).

c) Ta có \[AH \bot BC\] mà \[DE{\rm{ // }}AH\] nên suy ra \[DE \bot BC\].

Gọi \[K\] là hình chiếu của \[E\] lên \[AH\].

Từ đó suy ra tứ giác \[EDHK\] là hình chữ nhật có:

+) \(\widehat {EKH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AKE} = 90^\circ \).

+) \[EK = HD = HA\].

Lại có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {BAH} + \widehat {KAE} = 90^\circ \).

+) \(\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 180^\circ  - \widehat {AKE} = 90^\circ \).

Nên suy ra \(\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {KAE}\)).

Xét \[\Delta AKE\] và \[\Delta BHA\] có:

\(\widehat {AKE} = \widehat {BHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(EK = AH\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó \(\Delta AKE = \Delta BHA\;\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\).

Từ đó suy ra \[AE = AB\] (hai cạnh tương ứng).