Khảo sát một nhóm 50 học sinh ở một trường THPT người ta thấy rằng: Có 20 học sinh giỏi Ngoại ngữ, 15 học sinh giỏi Tin học, 10 học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm 50 học sinh ở trên.

Yêu cầu bài toán:

Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: \(A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A\)

Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)

·          Từ A có 3 sự lựa chọn:

o    \( \to C:15\)

o    \( \to D:30\)

o    \( \to B:42\)

\( \Rightarrow \) Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.

·          Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):

o    \( \to B:34\)

o    \( \to D:35\)

\( \Rightarrow \) Chọn B.

·          Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):

o    \( \to D:20\)

·          Từ D về A: 30

Tổng chu trình:

15 + 34 + 20 + 30 = 99

Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)

Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần \( \to \) mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.

Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.

\( \Rightarrow \) Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:

·          Loại AB, CD: \(42 + 35 = 77\) (Lớn nhất \( \to \) Chọn bỏ)

·          Loại AC, BD: \(15 + 20 = 35\)

·          Loại AD, BC: \(30 + 34 = 64\)

\( \Rightarrow \) Chọn bỏ cạnh AB và CD.

Tổng trọng số:

= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)

\( = 176 - 77 = {\bf{99}}\).

Đáp án: 99.

Đáp án: \[0,16\].

Vì \[SM = 3MB,NC = 2NS\] nên \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} \],

Vì \[AN\] vuông góc với \[CM\] nên

 \[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\]

Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là \[V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0,16\].