Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A,B,C\) biết \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,3;\, - 9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\). Gọi \(\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow {AM} \). Tính \(26a + b - 2001c\).

Yêu cầu bài toán:

Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: \(A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A\)

Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)

·          Từ A có 3 sự lựa chọn:

o    \( \to C:15\)

o    \( \to D:30\)

o    \( \to B:42\)

\( \Rightarrow \) Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.

·          Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):

o    \( \to B:34\)

o    \( \to D:35\)

\( \Rightarrow \) Chọn B.

·          Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):

o    \( \to D:20\)

·          Từ D về A: 30

Tổng chu trình:

15 + 34 + 20 + 30 = 99

Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)

Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần \( \to \) mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.

Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.

\( \Rightarrow \) Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:

·          Loại AB, CD: \(42 + 35 = 77\) (Lớn nhất \( \to \) Chọn bỏ)

·          Loại AC, BD: \(15 + 20 = 35\)

·          Loại AD, BC: \(30 + 34 = 64\)

\( \Rightarrow \) Chọn bỏ cạnh AB và CD.

Tổng trọng số:

= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)

\( = 176 - 77 = {\bf{99}}\).

Đáp án: 99.

Đáp án: \[0,16\].

Vì \[SM = 3MB,NC = 2NS\] nên \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} \],

Vì \[AN\] vuông góc với \[CM\] nên

 \[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\]

Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là \[V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0,16\].