Một chiếc Container được buộc vào móc \(S\) của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn \(SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiếc cần cẩu kéo chiếc Container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp, biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\,\overrightarrow {{F_4}} \) trên mỗi sợi dây cáp đều có độ lớn bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng 80 kN (Kết quả làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy).

Yêu cầu bài toán:

Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: \(A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A\)

Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)

·          Từ A có 3 sự lựa chọn:

o    \( \to C:15\)

o    \( \to D:30\)

o    \( \to B:42\)

\( \Rightarrow \) Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.

·          Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):

o    \( \to B:34\)

o    \( \to D:35\)

\( \Rightarrow \) Chọn B.

·          Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):

o    \( \to D:20\)

·          Từ D về A: 30

Tổng chu trình:

15 + 34 + 20 + 30 = 99

Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)

Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần \( \to \) mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.

Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.

\( \Rightarrow \) Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:

·          Loại AB, CD: \(42 + 35 = 77\) (Lớn nhất \( \to \) Chọn bỏ)

·          Loại AC, BD: \(15 + 20 = 35\)

·          Loại AD, BC: \(30 + 34 = 64\)

\( \Rightarrow \) Chọn bỏ cạnh AB và CD.

Tổng trọng số:

= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)

\( = 176 - 77 = {\bf{99}}\).

Đáp án: 99.

Đáp án: \[0,16\].

Vì \[SM = 3MB,NC = 2NS\] nên \[\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} \],

Vì \[AN\] vuông góc với \[CM\] nên

 \[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\]

Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là \[V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0,16\].