Một công ty năng lượng đang xây dựng một bể chứa khí thiên nhiên hóa lỏng \(\left( {LNG} \right)\) có dạng hình cầu với bán kính \(20\) mét. Để đảm bảo an toàn và dễ dàng trong việc lắp đặt hệ thống đường ống, phần đáy và phần đỉnh của bể được cắt phẳng. Phần đáy bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(18\) mét, phần đỉnh bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(15\) mét (tâm nằm giữa hai mặt phẳng). Hỏi thể tích bể đó là bao nhiêu nghìn mét khối? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\).

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\) là \( - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích toàn bộ bồn hoa (tổng diện tích trồng hoa hồng và trồng cỏ Nhật ) bằng:

\(S = \frac{2}{3}.d.h = \frac{2}{3}.4.4 = \frac{{32}}{3}\) (với \(d\) là độ dài đáy, \(h\) là chiều cao).

b) Sai.

Đường thẳng \(d:\,y = ax + b\) qua \(M\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).

Nên \(d:y = ax + 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) : \( - {x^2} + 4 = ax + 1 \Leftrightarrow - {x^2} - ax + 3 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng định lý Vi – ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\) .

c) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\)có công thức tính nhanh \[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6}\]

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {a^2} + 12.\\ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + 12} \end{array}\]

\[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6} = \frac{{{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^3}}}{6} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6}\].

Dễ thấy \({S_{1\left( {\min } \right)}} \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow d:y = 1\).(song song với trục hoành).

d) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng gấp đôi diện tích trồng cỏ Nhật nên:

\({S_1} = 2\left( {S - {S_1}} \right) \Leftrightarrow 3{S_1} = 2S \Leftrightarrow {S_1} = \frac{2}{3}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{2}{3}.\frac{{32}}{3} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{{64}}{9}\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)^3} = \frac{{128}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\frac{{128}}{3}} \right)^{\frac{2}{3}}} - 12\].

Gọi \(A\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),B\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {a^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}\left( {1 + {a^2}} \right)} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^2}.\left( {1 + {a^2}} \right)} \)\(\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}.\left( {1 + {{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}} - 12} \right)} \approx 3,84\).

Vậy chiều dài của dải đèn LED xấp xỉ \(3,84\)mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \[60,2\].

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ (đơn vị \(dm\)). Khi đó các parabol nhận trục tung làm trục đối xứng, \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {3;3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{2}{3}{x^2} - 3\); \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {3; - 3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_2}} \right):y = - \frac{2}{3}{x^2} + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{2}{3}{x^2} - 3 = - \frac{2}{3}{x^2} + 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Lấy \(M\left( {x; - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right)\) \(\left( {0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật trắng là \({S_1} = 2x.2.\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right) = - \frac{8}{3}{x^3} + 12x\;\left( {d{m^2}} \right)\) và phần diện tích màu là \({S_2} = S - {S_1} = {6^2} - \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right) = \frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36\;\left( {d{m^2}} \right)\).

Suy ra chi phí \(C\left( x \right) = \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right).0,8 + \left( {\frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36} \right).2 = \frac{{16}}{5}{x^3} - \frac{{72}}{5}x + 72\) (nghìn đồng)

Có \(C'\left( x \right) = \frac{{48}}{5}{x^2} - \frac{{72}}{5} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\),

Có BBT

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)} C\left( x \right) = \frac{{360 - 24\sqrt 6 }}{5} \approx 60,2\)(nghìn đồng).