Một công ty năng lượng đang xây dựng một bể chứa khí thiên nhiên hóa lỏng \(\left( {LNG} \right)\) có dạng hình cầu với bán kính \(20\) mét. Để đảm bảo an toàn và dễ dàng trong việc lắp đặt hệ thống đường ống, phần đáy và phần đỉnh của bể được cắt phẳng. Phần đáy bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(18\) mét, phần đỉnh bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(15\) mét (tâm nằm giữa hai mặt phẳng). Hỏi thể tích bể đó là bao nhiêu nghìn mét khối? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Gọi \(M,N\) lần lượt là biến cố mô hình 1, mô hình 2 dự đoán đúng, ta có \(P\left( M \right) = 0,8;\,\,P\left( N \right) = 0,9.\)

Gọi \(A\) là biến cố trời mưa, ta có \(P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8.\)

Gọi \(X,Y\) lần lượt là biến cố mô hình 1 dự đoán trời mưa, mô hình 2 dự đoán trời mưa.

a) Sai

Xác suất để mô hình 1 dự đoán sai là \[P\left( {\overline M } \right).P\left( {\overline N } \right) = 0,2.0,1 = 0,02.\]

b) Sai

Xác suất mô hình 1 dự đoán không mưa đúng là \(P\left( {\overline A .\overline X } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline X |\overline A } \right) = 0,8.0,8 = 0,64.\)

Xác suất mô hình 2 dự đoán có mưa đúng là \(P\left( {A.Y} \right) = P\left( A \right).P\left( {Y|A} \right) = 0,2.0,9 = 0,18.\)

Suy ra trong trường hợp Mô hình 1 dự báo không mưa và Mô hình 2 dự báo có mưa, xác suất Mô hình 1 dự báo đúng cao hơn xác suất Mô hình 2 dự báo đúng.

c) Đúng

Xác suất để cả hai mô hình đều dự báo có mưa \(P\left( {XY} \right) = P\left( A \right).P\left( {XY|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {XY|\overline A } \right) = 0,2.0,8.0,9 + 0,8.0,1.0,2 = 0,16.\)

d) Đúng

Ta có \(P\left( {AXY} \right) = P\left( A \right).P\left( {X|A} \right).P\left( {Y|A} \right) = 0,2.0,8.0,9 = 0,144.\)

Ta có \(P\left( {AXY} \right) = P\left( {XY} \right).P\left( {A|XY} \right) \Rightarrow P\left( {A|XY} \right) = \frac{{P\left( {AXY} \right)}}{{P\left( {XY} \right)}} = \frac{{0,144}}{{0,16}} = 0,9.\)

Đáp án: \[60,2\].

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ (đơn vị \(dm\)). Khi đó các parabol nhận trục tung làm trục đối xứng, \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {3;3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{2}{3}{x^2} - 3\); \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {3; - 3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_2}} \right):y = - \frac{2}{3}{x^2} + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{2}{3}{x^2} - 3 = - \frac{2}{3}{x^2} + 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Lấy \(M\left( {x; - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right)\) \(\left( {0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật trắng là \({S_1} = 2x.2.\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right) = - \frac{8}{3}{x^3} + 12x\;\left( {d{m^2}} \right)\) và phần diện tích màu là \({S_2} = S - {S_1} = {6^2} - \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right) = \frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36\;\left( {d{m^2}} \right)\).

Suy ra chi phí \(C\left( x \right) = \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right).0,8 + \left( {\frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36} \right).2 = \frac{{16}}{5}{x^3} - \frac{{72}}{5}x + 72\) (nghìn đồng)

Có \(C'\left( x \right) = \frac{{48}}{5}{x^2} - \frac{{72}}{5} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\),

Có BBT

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)} C\left( x \right) = \frac{{360 - 24\sqrt 6 }}{5} \approx 60,2\)(nghìn đồng).